Стереометрия

[Гост]

През основата AB на равнобедрен триъгълник ABC е прекарана равнина[tex]\gamma[/tex], на разстояние 8см от върха C. Ако AB = 24см и AC=BC=20см, намерете:

А/ мярката на двустенния ъгъл между равнината на триъгълника и равнината [tex]\gamma[/tex]
Б/ лицето на проекцията на триъгълника в равнината [tex]\gamma[/tex]

[ammornil]

През основата AB на равнобедрен триъгълник ABC е прекарана равнина[tex]\gamma[/tex], на разстояние 8см от върха C. Ако AB = 24см и AC=BC=20см, намерете:
А/ мярката на двустенния ъгъл между равнината на триъгълника и равнината [tex]\gamma[/tex]
Б/ лицето на проекцията на триъгълника в равнината [tex]\gamma[/tex]

220306_002.png (15.1 KiB) Прегледано 268 пъти

Нека точка [tex]F[/tex] е проекцията на върха [tex]C[/tex] в равнината [tex]\alpha[/tex], [tex]CF-[/tex] разстояние между върха [tex]C[/tex] и равнината [tex]\alpha, CF=8\ cm[/tex].
[tex]CF \bot p(ABF) \Rightarrow \begin{cases} CF \bot AF \\ CF \bot BF \end{cases} \Rightarrow \triangle BFC -[/tex]правоъгълен [tex]\Rightarrow BF=\sqrt{BC^{2}-CF^{2}}=4\sqrt{21}\ cm[/tex]

[tex]CM \bot AB, CF \bot p(ABF) \Rightarrow FM \bot AB \Rightarrow \angle CMF -[/tex] линеен на двустенния между равнините [tex]p(ABC)[/tex] и [tex]p(ABF)[/tex]
[tex]\triangle ABC[/tex]равнобедрен [tex]AM=BM=12\ cm, \phantom{QQ} \triangle ABC[/tex] правоъгълен [tex]\Rightarrow AM^{2}+CM^{2}=AC^{2} \Rightarrow CM=\sqrt{AC^{2}-AM^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{12}}=16\ cm[/tex]

(a) [tex]\triangle MFC[/tex] правоъгълен [tex]\Rightarrow \sin{\angle FAC} = \frac{CF}{CM}=\frac{1}{2} \Rightarrow \angle FAC = 30 ^\circ[/tex]

(б) [tex]\triangle MFC[/tex] правоъгълен [tex]\Rightarrow FM^{2}=CM^{2}-CF^{2} \Rightarrow FM=\sqrt{CM^{2}-CF^{2}}=8\sqrt{3}\ cm[/tex]
[tex]S_{_{ABF}}=\frac{AB.FM}{2}=\frac{24.8\sqrt{3}}{2}=96\sqrt{3}\ cm^{2}[/tex]