Триъгълна пирамида

[Гост]

Дадена триъгълна пирамида ABCM
ABC е основата на пирамидата и е равнобедрен /AC =BC = 30см./
AB =40см
Околните ръбове l = 45см
V =?

Отговора е 6000 куб. См, но аз получавам друго.
По Херонова формула намирам лицето на основата B = 200√5 кв. см
Остава да намерим височината h =?
Построявам MH, перпендикулярна на ABC
Понеже триъгълникът е рб, следователно CC1 = m, l, h,s = 10√5см, но точка H - медицентър, CH:HC1 = 2:1
И от тук намирам CH=(10√5) /3
Правя пит. теорема за MHC и намирам MH = (5√649)/3
V = B * h /3.......
Нещо не е наред обаче.... Не ми излиза 6000куб. см
Бих се радвал ако ми помогнете!
Благодаря предварително!

[ammornil]

Съждението Ви, че височината проектира върха на пирамидата в медицентъра е грешно. Всъщност, върхът се проектира в пресечната точка на симетралите на основата- в центъра на описаната около основата окръжност (доказателство по-долу).

220309_001.png (14.4 KiB) Прегледано 333 пъти

Нека [tex]MO[/tex] е височината на пирамидата. [tex]МО \bot p(ABC)[/tex]
Понеже всички околни ръбове са равни [tex]\Rightarrow \triangle MAO \cong \triangle MBO \cong \triangle MCO -[/tex] правоъгълни с равни хипотенузи и общ (равен) катет. Следователно [tex]AO=BO=CO \Rightarrow O[/tex] е център на описаната около основата окръжност [tex]\Rightarrow AO = BO =CO = R[/tex]

[tex]P_{_{ABC}}=a+b+c=30+30+40=100\ cm \phantom{QQ} \Rightarrow p=\frac{P_{_{ABC}}}{2}=50\ cm[/tex]

[tex]B=S_{_{ABC}}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{50(50-30)(50-30)(50-40)}=\sqrt{2.5^{2}.2^{2}.5.2^{2}.5.2.5}=\sqrt{2^{6}.5^{5}}=8.25.\sqrt{5}=200\sqrt{5}\ cm^{2}[/tex]

[tex]S_{_{ABC}}=\frac{a.b.c}{4R} \Rightarrow R=\frac{a.b.c}{4S}=\frac{30.30.40}{4.200\sqrt{5}}=\frac{9.100.8.\sqrt{5}\sqrt{5}}{8.100.\sqrt{5}}=9\sqrt{5} \ cm[/tex]

[tex]\triangle MOA \rightarrow[/tex] правоъгълен [tex]\Rightarrow MO^{2}+AO^{2}=AM^{2} \Rightarrow MO^{2}=AM^{2}-AO^{2} \Leftrightarrow H=MO=\sqrt{45^{2}-81.5}=\sqrt{1620}=\sqrt{2^{2}.3^{4}.5}=18\sqrt{5}\ cm[/tex]

[tex]V_{_{ABCM}}=\frac{1}{3}.B.H=\frac{1}{3}.200\sqrt{5}.18\sqrt{5}=6000\ cm^{3}[/tex]