Ъгъл между права и равнина

[Гост]

Даден е куб ABCDA1B1C1D1, точка M е среда на AA1, точка К [tex]\in[/tex] BB1 и BK:KB1=1:4. Намерете косинуса на ъгъла между правата MK и равнината (B1, D1, M).

[mail_dinko]

Ето моето предложение. Мисля, че може да имам изчислителни грешки

[S.B.]

Даден е куб ABCDA1B1C1D1, точка M е среда на AA1, точка К [tex]\in[/tex] BB1 и BK:KB1=1:4. Намерете косинуса на ъгъла между правата MK и равнината (B1, D1, M).

Без заглавие - 2022-03-10T214757.534.png (234 KiB) Прегледано 687 пъти

Ъгълът който търсим е [tex]\angle \beta = \angle K_{1 }MK[/tex] - ъгълът между правата $MK$ и нейната проекция [tex]K_{1 }M[/tex] в равнината [tex](M B_{1 } D_{1 })[/tex],като [tex]K_{1 } \in M B_{1 }[/tex].
$MK$ и [tex]M B_{1 }[/tex] лежат в една и съща равнина и [tex]K K_{1 }[/tex] е единствен перпендикуляр през $K$ към равнината [tex](M B_{1 } D_{1 }[/tex]
Построявам [tex]NK ||AB[/tex]
[tex]\angle NMK = \alpha , \angle KM B_{1 } = \beta , \angle B_{1 }M A_{1 } = \gamma[/tex]
[tex]\alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ \Leftrightarrow \beta = 180 ^\circ - ( \alpha + \gamma) \Rightarrow \cos \beta = \cos[180 ^\circ -( \alpha + \gamma )] \Rightarrow \cos \beta = - \cos( \alpha + \gamma )[/tex]
[tex]\cos \beta = - (\cos \alpha \cos \gamma - \sin \alpha \sin \gamma )[/tex]
От[tex]\triangle MKN[/tex] :
[tex]\cotg \alpha = \frac{3}{10} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{10 \sqrt{109} }{109} , \cos \alpha = \frac{3 \sqrt{109} }{109}[/tex]
От [tex]\triangle M B_{1 } A_{1 }[/tex]:
[tex]\ sin \gamma = \frac{2 \sqrt{5} }{5} , \cos \gamma = \frac{ \sqrt{5} }{5}[/tex]
[tex]\cos \beta = - (\cos \alpha.\cos \gamma - \sin \alpha .\sin \gamma) = - ( \frac{3 \sqrt{109} }{109}. \frac{ \sqrt{5} }{5} - \frac{10 \sqrt{109} }{109}. \frac{2 \sqrt{5} }{5}) = - \frac{ \sqrt{109} .\sqrt{5} }{109.5}(3 -20)[/tex]
$$\cos \beta = \frac{17. \sqrt{545} }{545} \approx 0,73$$

[KOPMOPAH]

Ъгъл между права и равнина-2-1.png (17.51 KiB) Прегледано 650 пъти

Ъгъл между права и равнина-1-1.png (22.49 KiB) Прегледано 650 пъти

Имах едно подозрение, което $GeoGebra$ потвърди - проекцията на $MK$ върху равнината $(B_1,D_1,M)$ лежи ИЗВЪН куба. Прилагам чертежи от различни гледни точки. Чертежите са направени в $3D Graphics$ варианта на $GeoGebra$ и мисля, че са верни.

[mail_dinko]

Корморан, може ли да предложите Вашето решение, искам да сравня на мен къде са ми грешките.