Ротационно тяло

[Гост]

Правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30° и височина h към хипотенузата се върти около права
, която минава през върха на правия ъгъл и е успоредна на хипотезата. Намерете обема на полученото ротационно тяло.

[mail_dinko]

От [tex]CH = h[/tex] намираме и [tex]CB = 2h[/tex] - хипотенуза в правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 градуса
[tex]\frac {CH}{CA } = cos 30^\circ \Leftrightarrow \frac {h}{CA } = \frac {\sqrt{3}}{2} \Rightarrow CA = \frac {2h}{\sqrt {3}} = \frac {2 \sqrt {3}h}{3}[/tex]
В триъгълник ABC намираме хипотенузата чрез катета срещу ъгъл 30 градуса [tex]AB = 2AC = \frac {4h}{\sqrt {3}} = \frac {4 \sqrt {3}h}{3}[/tex]
В триъгълник HAC намираме катет срещу ъгъл 30 градуса [tex]HA = \frac 12 CA = \frac {\sqrt {3} h}{3}\Rightarrow HB = AB - HA = \frac {4 \sqrt {3}h}{3} - \frac {\sqrt {3} h}{3} = \sqrt {3} h[/tex]
[tex]V_{тяло} =V_{цилиндър}-V_{конусAA_1 C}-V_{конусBB_1C} = \pi h^2 . \frac {4 \sqrt {3}h}{3} - \pi . \frac {1}{3}. h^2 . \frac {\sqrt {3} h}{3} - \pi . \frac {1}{3}. h^2 . \sqrt {3} h

= \pi h^2 . \frac {\sqrt {3}}{3} (4h - \frac {h}{3} -h)= \pi h^2 . \frac {\sqrt {3}}{3} .\frac {8h}{3}[/tex]
[tex]V_{тяло} = \pi h^3 . \frac {8 \sqrt {3}}{9}[/tex]

[ammornil]

Така завъртеният триъгълник описва тяло, което е прав кръгов цилиндър с радиус на основата [tex]h[/tex] и височина хипотенузата на дадения триъгълник, в който са издълбани два прави кръгови конуса с радиуси на основите [tex]h[/tex] и височини равни на частите от хипотенузата на триъгълника, опдеделени от петата на височината към нея.

Screenshot 2022-03-16 205633.png (317.82 KiB) Прегледано 409 пъти