Ротационно тяло

[Гост]

Да се намерят обемът и лицето на повърхнината на ротационно тяло, получено от въртенето на:

1) правоъгълен триъгълник с катети 2,31 дм. и 5, 2дм около хипотенузата му.
2) равнобедрен триъгълник с дължина на бедрото а и ъгъл при върха на триъгълника с големина [tex]\varphi[/tex] около едното му бедро.

[mail_dinko]

Първата ситуация, намираме височината към хипотенузата
[tex]\begin{array}{|l} c=\sqrt {a^2 + b^2} \\ ab = ch _c = 0 \Rightarrow h_c = \frac {ab}{c}\end{array} \rightarrow \begin{array}{|l} c=\sqrt {2,31^2+5,2^2} \Rightarrow c = 5,69 \\ ab = ch _c = 0 \Rightarrow h_c = \frac {2,31.5,2}{5,69}= 2,11\end{array}[/tex]
Полученото тяло представлява два конуса с обща с основа, чиито върхове са в разл полуравнини
Трябва да намерим образувателните, които са ортогонални проекции на катетите - те се явяват височини
[tex]a^2 = a_1 c \Rightarrow a_1 = \frac {a^2}{c} = 0,94[/tex]
[tex]b^2 = b_1 c \Rightarrow b_1 = \frac {b^2}{c} = 4,75[/tex]
[tex]V_{total} = \frac {a_1}{3}. \pi . h_c ^2+ \frac {b_1}{3}. \pi . h_c ^2= \frac {\pi. h_c ^2}{3} (a_1 + b_1)=61,4 \pi[/tex]
[tex]S_{total} = \pi . h_c . a _1+ \pi . h_c . b_1 = \pi . h _c (a_1+b_1)=32,33 \pi[/tex]

[S.B.]

Да се намерят обемът и лицето на повърхнината на ротационно тяло, получено от въртенето на:

2) равнобедрен триъгълник с дължина на бедрото а и ъгъл при върха на триъгълника с големина [tex]\varphi[/tex] около едното му бедро.

Без заглавие - 2022-03-19T212917.231.png (267.24 KiB) Прегледано 255 пъти

Тялото представлява два конуса с обща основа - кръг с радиус $r$
Построявам [tex]AO \bot BC, AO = r[/tex]
От [tex]\triangle AOC \rightarrow \frac{AO}{AC} = \sin \varphi \Leftrightarrow \frac{r}{a} = \sin \varphi \Rightarrow r = a\sin \varphi[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AB^{2 } = AC^{2 } + BC^{2 } - 2.AC.BC\cos \varphi \Leftrightarrow c^{2 } = 2 a^{2 }(1 -\cos \varphi ) = 4 a^{2 } \sin^{2 } \frac{ \varphi }{2} \Rightarrow c = 2a\sin \frac{ \varphi }{2}[/tex]
[tex]S_{тялото } = S_{A A_{1 }C } + S_{A A_{1 }B }[/tex]
[tex]S_{A A_{1 }C } = \pi.r .l = \pi.a\sin \varphi .a \Rightarrow S_{A A_{1 }C } = a^{2 } \pi.\sin \varphi[/tex]
[tex]S_{A A_{1 }B } = \pi.r.l = \pi .a \sin \varphi .2a.\sin \frac{ \varphi }{2} = 2 a^{2 } \pi .\sin \varphi .\sin \frac{ \varphi }{2}[/tex]
$$S_{тялото } = a^{2 } \pi .\sin \varphi (1 + 2\sin \frac{ \varphi }{2} )$$

[tex]V_{тялото } = V_{A A_{1 }C } + V_{A A_{1 }B } = \frac{ \pi r^{2 } h_{1 } }{3} + \frac{ \pi r^{2 } h_{2 } }{3} = \frac{ \pi r^{2 } }{3}( h_{1 } + h_{2 }) = \frac{ \pi a^{2 } \sin^{2 } \varphi }{3}. a[/tex]
$$V_{тялото } = \frac{ \pi a^{3 } \sin^{2 } \varphi }{3}$$