Разстояние между прави в пирамида с основа ромб

[Гост]

Пирамида ABCDM има за основа ромб ABCD със страна a и остър ъгъл 60 градуса. Правата MD е перпендикулярна на равнината на основата (ABCD) и MD = AB = a. Ако точката N е среда на отсечката CM, да се намери разстоянието между правите AC и BN.

Доколкото разбрах от условието, правите AC и BN се явяват кръстосани и не знам как да построя тази ос-отсечка между тези прави и да намеря нейната дължина, може ли малко помощ? Благодаря предварително!

[Гост]

mozhesh li da boravish s vektori i analitichna geometrija?

[Гост]

Всяка насока би ми била полезна, независимо от материала

[Гост]

slagash romba v xy-ravninata s D(0,0,0) A(a,0,0), drugite 2 vurha namirarish ot prav. triug s ugul 30, M(0,0,a)

[Гост]

kat imash pette vurha, mozesh kvot si iskash da namerish

[Гост]

Това ми е ясно. Аз чисто технически не мога да построя тази ос-отсечка, за да намеря дължината и, и въпросът ми е конкретно върху това...

[Гост]

ako P e sredata na AM, ravninata (BNP) e usporedna na AC i se tursi razstojanieto d(AC, (BNP))

[Гост]

Бихте ли ми показали откъде следва, че равнината (BNP) е успоредна на AC, т.е. доказателството на това как става. И после значи трябва да избера точка от AC, например О, от която да построя перпендикуляр към равнината (BNP), но не знам как да намеря ортогоналната проекция на точката О върху равнината (BNP) къде ще лежи? Ако може някой малко по-подробно да ми обясни тази част, за която попитах, защото именно там са ми пропуските, нататък ще се оправя

[Гост]

Добре, успях да докажа, че равнината (BNP) е успоредна на правата AC (тъй като NP е успоредна на AC). Но не знам как да намеря ортогоналната проекция на AC върху равнината (BNP). Може би ще е през точката О? Мисля, че ако е през точката О, ще се проектира върху височината от върха B към страната PN на триъгълника BPN. Но това визуално ми изглежда така. Ако това е вярно, как бих го доказал математически?

[nikola.topalov]

geogebra-export (47).png (94.21 KiB) Прегледано 1567 пъти

През точка [tex]B[/tex] в равнината [tex](ABC)[/tex] построявам права, успоредна на [tex]AC[/tex], която пресича правата [tex]DC[/tex] в точката [tex]E[/tex]. Оттук получаваме, че [tex]AC[/tex] е успоредна на равнината [tex](BEN)[/tex] (защото е успоредна на права от нея), тоест търсеното разстояние е между коя да е точка от [tex]AC[/tex] до [tex](BEN)[/tex]. Да си изберем точката [tex]C[/tex], за да може това разстояние да го третираме като височина в пирамидата [tex]BECN[/tex]. Пирамидите [tex]ABCN[/tex] и [tex]BECN[/tex] са с равнолицеви основи и една и съща височина ([tex]NF[/tex] от чертежа), тоест са и равнообемни. Накъде бия с всичката тази информация: искам да намеря [tex]S_{BEN}[/tex] и да използвам метода на обемите - [tex]V_{BECN}=\dfrac{1}{3}S_{BEC}\times NF=\dfrac{1}{3}S_{BEN}\times d[/tex]. Да видим сега. [tex]NF[/tex] e средна отсечка в [tex]\triangle DCM[/tex], следователно [tex]NF=\dfrac{1}{2}a[/tex]. От друга страна [tex]EF=\dfrac{3}{2}a[/tex], откъдето [tex]EN=\dfrac{\sqrt{10}}{2}a[/tex]. И така [tex]\cos\measuredangle CEN=\dfrac{3}{\sqrt{10}}[/tex]и по теоремата за трите косинуса $$\cos\measuredangle BEN=\cos\measuredangle BEC\times\cos\measuredangle CEN\Leftrightarrow \cos\measuredangle BEN=\dfrac{3\sqrt{30}}{20}\Leftrightarrow \sin\measuredangle BEN=\dfrac{\sqrt{130}}{20}$$
Следователно $$S_{BEN}=\dfrac{1}{2}BE\times EN\times \sin\measuredangle BEN=\sqrt{3}a\times\dfrac{\sqrt{10}a}{2}\times\dfrac{\sqrt{130}}{40}=\dfrac{\sqrt{39}}{8}a^2$$
Оттук намираме [tex]V_{BECN}=\dfrac{1}{3}S_{BEC}\times NF=\dfrac{\sqrt{3}}{24}a^3=\dfrac{\sqrt{39}}{24}a^2d\Leftrightarrow d=\dfrac{\sqrt{13}}{13}a[/tex].

[Гост]

Много благодаря за страхотното обяснение, което дори е придружено от чертеж! За първи път виждам тази теорема за трите косинуса. Стана ми интересно как ли се доказва тя, но в интернет не успях да намеря почти нищо за нея. И все пак Отново благодаря!

[nikola.topalov]

Зарадвахте ме с милите думи. Ето я и теоремата за трите косинуса, която според мен е много полезна:

geogebra-export (48).png (70.88 KiB) Прегледано 1559 пъти

Гледайте чертежа: Имаме някаква равнина (тази в синьо) и права [tex]a[/tex], която я пробожда (и не е перпендикулярна на равнината). Нека ортогоналната проекция на тази права върху равнината е правата [tex]b[/tex], а [tex]c[/tex] да е също права от равнината, която да сключва някакъв ъгъл [tex]0<\alpha<\pi[/tex] с [tex]b[/tex] (от чертежа [tex]\measuredangle C_1AB=\alpha[/tex]). Тогава $$\cos\measuredangle CAB=\cos\measuredangle C_1AB\times\cos\measuredangle C_1AC$$ Разбира се ще Ви пусна и доказателство :

geogebra-export (49).png (78.08 KiB) Прегледано 1559 пъти

Нека точка [tex]B[/tex] е петата на перпендикуляра от точката [tex]C_1[/tex] до правата [tex]c[/tex]. Сега използваме теоремата за трите перпендикуляра: Очевидно [tex]BC_1[/tex] е ортогоналната проекция на [tex]BC[/tex] и [tex]BC_1\perp c[/tex], следователно [tex]BC\perp c[/tex]. Да си разпишем косинусите на ъглите [tex]\measuredangle C_1AB[/tex] и [tex]\measuredangle C_1AC[/tex]. От правоъгълния [tex]\triangle AC_1C[/tex] имаме, че [tex]\cos\measuredangle C_1AC=\dfrac{AC_1}{AC}[/tex] и аналогично от [tex]\triangle C_1AB[/tex] намираме [tex]\cos\measuredangle C_1AB=\dfrac{AB}{AC_1}[/tex]. Нека ги умножим: $$\cos\measuredangle C_1AB\times\cos\measuredangle C_1AC=\dfrac{AB}{AC_1}\times\dfrac{AC_1}{AC}=\dfrac{AB}{AC} $$
което по определение е точно [tex]\cos\measuredangle CAB[/tex].

Ето и още едно доказателство (с вектори), може пък то да Ви хареса повече:

geogebra-export (50).png (58.16 KiB) Прегледано 1558 пъти

Нека векторите [tex]\vec{w}[/tex] и [tex]\vec{u}[/tex] са колинеарни съответно с правите [tex]c[/tex] и [tex]b[/tex], а вектор [tex]\vec{v}[/tex] да е векторната проекция на [tex]\vec{w}[/tex] върху [tex]b[/tex]. Тогава очевидно векторът [tex]\vec{w}-\vec{v}[/tex] е перпендикулярен на цялата равнина, а оттам и на всеки вектор от нея. Това означава, че [tex](\vec{w}-\vec{v})\cdot\vec{u}=0[/tex] (теорема от единадесети клас за перпендикулярност на вектори и скаларно произведение). От горното уравнение имаме, че $$\vec{w}\cdot\vec{u}=\vec{v}\cdot\vec{u}\Leftrightarrow |\vec{w}||\vec{u}|\cos\measuredangle(\vec{w},\vec{u})=|\vec{v}||\vec{u}|\cos\measuredangle(\vec{v},\vec{u})\Leftrightarrow \cos\measuredangle(\vec{w},\vec{u})=\cos\measuredangle(\vec{v},\vec{u})\dfrac{|\vec{v}|}{|\vec{w}|}=\cos\measuredangle(\vec{v},\vec{u})\times\cos\measuredangle(\vec{w},\vec{v})$$ с което теоремата е доказана.

Между другото, вашата задача може да се реши и с вектори, ако искате и такова решение ще пусна.

[Гост]

tva sledva ot po-obshtata kosinusova teorema za tristenen ugul; tuka edinijat dvustenen ugul e prav i kosinusat mu stava 0

[Гост]

Бих искал да изразя искрените си благодарности към Вас, nikola topalov, за безрезервната помощ, която ми оказахте в тази задача! Благодарение на Вас научих нови неща за мен в стереометрията , които ще ми помогнат и в бъдещи стереометрични задачи. Наистина съм Ви признателен!

[Гост]

za da se fiksira izometrija, sha e dobre da se nameri i ugulat mezhdu te tija pravi te

[S.B.]

Това ми е ясно. Аз чисто технически не мога да построя тази ос-отсечка, за да намеря дължината и, и въпросът ми е конкретно върху това...

Построяването на тази отсечка ще видите ТУК
Вие можете да приложите този метод във вашата задача,тъй като лесно можете да построите равнина перпендикулярна на $AC$ - това е равнината $(BDM)$,после намирате ортогоналната проекция на $BN$ върху тази равнина - [tex]B N_{1 }[/tex].
[tex]AC \cap BDM = O , OS \bot B N_{1 }[/tex]
$OS = d$ това е отсечката,която търсите.

Без заглавие - 2022-09-16T114033.170.png (407.08 KiB) Прегледано 1497 пъти

[Гост]

Това ми е ясно. Аз чисто технически не мога да построя тази ос-отсечка, за да намеря дължината и, и въпросът ми е конкретно върху това...

Построяването на тази отсечка ще видите ТУК
Вие можете да приложите този метод във вашата задача,тъй като лесно можете да построите равнина перпендикулярна на $AC$ - това е равнината $(BDM)$,после намирате ортогоналната проекция на $BN$ върху тази равнина - [tex]B N_{1 }[/tex].
[tex]AC \cap BDM = O , OS \bot B N_{1 }[/tex]
$OS = d$ това е отсечката,която търсите.

Без заглавие - 2022-09-16T114033.170.png

greshno

[Гост]

OS ne e nito d, nito os-otsechka

[Гост]

OS ne e nito d, nito os-otsechka

Spored teb!Horata sa go izmislili otdavna.Procheti uchebnika na Perepiolkin "Kurs po elementarna geometria"

[Гост]

eh, siguren sum, che i Perepiolkin e na moeto mnenie, edva li sha pishe gluposti, shtom tui e uchebnik

[Гост]

Това ми е ясно. Аз чисто технически не мога да построя тази ос-отсечка, за да намеря дължината и, и въпросът ми е конкретно върху това...

Построяването на тази отсечка ще видите ТУК
Вие можете да приложите този метод във вашата задача,тъй като лесно можете да построите равнина перпендикулярна на $AC$ - това е равнината $(BDM)$,после намирате ортогоналната проекция на $BN$ върху тази равнина - [tex]B N_{1 }[/tex].
[tex]AC \cap BDM = O , OS \bot B N_{1 }[/tex]
$OS = d$ това е отсечката,която търсите.

Без заглавие - 2022-09-16T114033.170.png

Привет !
Как мога да намеря SС =?
Моля да ми обясните как да го намеря и после една питагорова

[pepi23]

Ще се радвам да ми обясните

[pepi23]

По скоро разстоянието SO искам да изчисля тази ос -отсечка искам да изчисля

[ammornil]

после намирате ортогоналната проекция на $BN$ върху тази равнина - [tex]B N_{1 }[/tex].
[tex]AC \cap BDM = O , OS \bot B N_{1 }[/tex]
$OS = d$ това е отсечката,която търсите.

Според мен [tex]NN_{1}\bot{BM}[/tex] не е същото като [tex]NN_{1}\bot{p(BDM)}[/tex]. Защо [tex]N_{1}\in{BM}[/tex]? Според мен [tex]NN_{1}\|{AC}[/tex] (основата е ромб с взаимно перпендикулярни диагонали), следователно [tex]p(ACNN_{1}) \bot{} p(ABCD), p(ACNN_{1})\bot{}p(BDM)[/tex]. Къде бъркам?

[pepi23]

Да и това ме навява на мисълта че не може да се построи ос отсечка