Полусфера (стереометрична задача)

[Гост]

В полусфера с радиус $R$ е вписан куб така,че четирите му върха лежат на големия кръг на полусферата,а другите четири - на сферичната повърхнина.Намерете обема на куба.

[KOPMOPAH]

Ако допълним отдолу с още една такава полусфера с вписан куб в нея, ще получим сфера с радиус $R$ с вписан в нея паралелепипед с ръбове $a$, $a$ и $2a$, където с $a$ сме отбелязали ръба на куба. Телесният диагонал на този паралелепипед е $a\sqrt 6$ и е равен на $2R$. Получаваме, че ръбът на куба е $$a=\frac {R\sqrt 6}3$$ и оттам намираме обема му.

[S.B.]

Без заглавие - 2022-09-30T181815.865.png (265.01 KiB) Прегледано 310 пъти

Още един поглед върху задачата :

Центърът на $O$ на полусферата съвпада с центъра на долната основа на куба - пресечната точка на диагоналите.Върховете [tex]A_{1 }, B_{1 } ,C_{1 } ,D_{1 }[/tex] лежат на повърхността на сферата [tex]\Rightarrow O A_{1 } = O B_{1 } = O C_{1 } = O D_{1 } = R[/tex]
Нека ръбът на куба е $a$
За [tex]\triangle OB B_{1 }[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]O B_{1 } ^{2 } = OB^{2 } + B B_{1 } ^{2 } \Leftrightarrow R^{2 }= a^{2 } + ( \frac{a \sqrt{2} }{2}) ^{2 } \Rightarrow R^{2 } = \frac{3 a^{2 } }{2} \Rightarrow R = \frac{a \sqrt{6} }{2} \Rightarrow a = \frac{R \sqrt{6} }{3}[/tex]
$$V = a^{3 } = R^{3 } \frac{2 \sqrt{6} }{9}$$