Вписана правилна пирамида в сфера

[Гост]

В сфера с радиус R е вписана правилна триъгълна пирамида с ъгъл 2[tex]\alpha[/tex] между околните ръбове. Намерете височината на пирамидата.

[S.B.]

В сфера с радиус R е вписана правилна триъгълна пирамида с ъгъл 2[tex]\alpha[/tex] между околните ръбове. Намерете височината на пирамидата.

Без заглавие - 2023-01-05T212645.104.png (443.95 KiB) Прегледано 351 пъти

Означението на върха $B$ не се вижда на чертежа,за което се извинявам!
Нека основният ръб на пирамидата $ABCD$ е $a$ ,околният ръб е $l$, а височината $DH = h$
Построявам сечението $CKD$ по околния ръб $DC$ и апотемата $DK$
Върхът $D$ се проектира върху медицентъра на основата - т.$H$
[tex]CK = \frac{a \sqrt{3} }{2} \Rightarrow KH = \frac{a \sqrt{3} }{6} , HC = \frac{a \sqrt{3} }{3}[/tex]
За [tex]\triangle DHC[/tex] прилагам Питагорова теорема :
[tex]DH^{2 } = DC^{2 } - HC^{2 } \Leftrightarrow h^{2 } = l^{2 } - ( \frac{a \sqrt{3} }{3}) ^{2 }[/tex]
От [tex]\triangle AKD \rightarrow \frac{AK}{AD} = \sin \alpha \Leftrightarrow AK = AD.\sin \alpha[/tex][tex]\Rightarrow a= 2l.\sin \alpha[/tex]
Тогава :
[tex]h^{2 } = l^{2 } - ( \frac{a \sqrt{3} }{3}) ^{2 } \Leftrightarrow h^{2 }= l^{2 } - \frac{4 l^{2 } \sin^{2 } \alpha }{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow h^{2 } = l^{2 }( \frac{3 - 4 \sin^{2 } \alpha }{3} ) \Rightarrow h = l \sqrt{ \frac{3 - 4\sin \alpha }{3} }[/tex]

От чертежа на сечението вписано в сферата:

[tex]D D_{1 }[/tex] е диаметър [tex]\Rightarrow \angle DC D_{1 } = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle DC D_{1 }[/tex] е правоъгълен с хипотенуза [tex]D D_{1 }[/tex] и височина към хипотенузата $CH$
От метричните свойства в правоъгълен триъгълник следва:
[tex]DH. D_{1 }H = CH^{2 } \Leftrightarrow h(2R - h) = ( \frac{a \sqrt{3} }{3}) ^{2 } \Leftrightarrow 2Rh - h^{2 } = \frac{ a^{2 } }{3}[/tex]
Замествам $h$ и $a$ и получавам:
[tex]2R .l\sqrt{ \frac{3 - 4 sin^{2 } \alpha }{3} } - l^{2 }. \frac{3 - 4. sin^{2 } \alpha }{3} = \frac{4 l^{2 } \sin^{2 } \alpha }{3} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2Rl \sqrt{ \frac{3 - 4 \sin^{2 } \alpha }{3} } = l^{2 }( \frac{3 - 4 sin^{2 } \alpha }{3} + \frac{4 \sin^{2 } \alpha }{3} )[/tex]
[tex]2R.l \sqrt{ \frac{3 - 4 \sin^{2 } \alpha }{3} } = l^{2 } \frac{3 - 4 \sin^{2 } \alpha + 4 \sin^{2 } \alpha }{3} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2Rl \sqrt{ \frac{3 - 4 \sin^{2 } \alpha }{3} } = l^{2 }[/tex]
[tex]l_{1 } = 0[/tex] - не е решение , [tex]l_{2 } = 2R \sqrt{ \frac{3 - 4 sin^{2 } \alpha }{3} }[/tex]
[tex]h = l \sqrt{ \frac{3 - 4 \sin^{2 } \alpha }{3} } = 2R \sqrt{ \frac{3 - 4 \sin^{2 } \alpha }{3} } .\sqrt{ \frac{3 - 4 \sin^{2 } \alpha }{3} }[/tex]
$$\Rightarrow h = \frac{2R}{3}(3 - 4 \sin^{2 } \alpha )$$