Екстремални задачи в стереометрията - практическа математика

[niam]

Ще помоля за помощ с тези задачи възможно най-бързо.
зад. 1
В правилна четириъгълна пирамида е вписан прав кръгов цилиндър, така че долната му основа лежи в основата на пирамидата, а горната основа се допира до всички околни стени на пирамидата. Какво трябва да е отношението на височините на пирамидата и цилиндъра, така че обемът да е възможно най-голям?

зад. 2
Дадена е правилна триъгълна пирамида ABCD с връх D, с основен ръб а и околен ръб b пирамидата е пресечена с равнина успоредна на ръбовете AD и BC. На какво разстояние от ръба AD трябва да се построи равнината, така че лицето на полученото сечение да е най-голямо?

[peyo]

Ще помоля за помощ с тези задачи възможно най-бързо.
зад. 1
В правилна четириъгълна пирамида е вписан прав кръгов цилиндър, така че долната му основа лежи в основата на пирамидата, а горната основа се допира до всички околни стени на пирамидата. Какво трябва да е отношението на височините на пирамидата и цилиндъра, така че обемът да е възможно най-голям?

За да се допира до всички стени, цилиндъра трябва да е в центъра на пирамидата мисля.. Надявам се не трябва да доказваме това.

И сега да видим дали можем да измислим формула за за обема на цилиндъра като функция на $h_c/h_p = x$?

Пирамидата да има страна $a$ и височина $h_p$. Цилиндъра да има радиус $r$ и височина $h_c$. Тогава обема на цилиндъра е:
$V_c = \pi r^2 h_c$

geogebra-export(32).png (1.06 MiB) Прегледано 641 пъти

Признавам си тази формула я намерих опитно с geogebra:
$r = a(1- h_c/h_p)$

И сега:

$V_c = \pi r^2 h_c = \pi (a(1- h_c/h_p))^2 h_c = \pi (a(1- x))^2 h_c$

Да намерим максимума на това:

In [134]: var("a,x,h_c")
...: solve( (pi*(a*(1-x)**2*h_c).diff( x)), x)
...:
Out[134]: [1]

Ok, значи трябва $h_c/h_p = 1$

[ammornil]

Решението Ви не е вярно.

Признавам си тази формула я намерих опитно с geogebra:
$r = a(1- h_c/h_p)$

Ok, значи трябва $h_c/h_p = 1$

Колко е радиусът на цилиндъра за така полученото отношение?

[peyo]

Решението Ви не е вярно.

Признавам си тази формула я намерих опитно с geogebra:
$r = a(1- h_c/h_p)$

Ok, значи трябва $h_c/h_p = 1$

Колко е радиусът на цилиндъра за така полученото отношение?

Опс! Ами да! Ние сме намерили минимум вместо максимум!

Ок, имаме:
$V_c = \pi r^2 h_c = \pi (a(1- h_c/h_p))^2 h_c = \pi (a(1- x))^2 h_c$

Явно максимума ще е когато x=0, това ще е когато h_c=0, а h_c е част от уравнението по нататък. Да изразим и тази част като $x$:

$V_c = \pi (a(1- x))^2 h_c = \pi (a(1- x))^2 (h_c/h_p)h_p = \pi (a(1- x))^2 h_c = \pi (a(1- x))^2 x h_p $

Това вече е уравнение от 3-та степен. Да видим колко е максимума:

In [147]: var("a,x,h_c,h_p")^M
...: solve( (pi*(a*(1-x)**2*x*h_p).diff( x)), x)^M
...:
Out[147]: [1/3, 1]

Ок! Вече знаем, че 1 е минимум, значи 1/3 е максимум (защото това е полинoм от 3-та степен). Така верния отговор е:

[tex]\frac{h_c}{h_p } = \frac{1}{3 }[/tex]