Задачата от ТУ

[Гост]

Основата на пирамида е квадрат, а околните ръбове на пирамидата са равни помежду си. През средите на две съседни страни на основата и върха на пирамидата е построена равнина, която сключва с равнината на основата
ъгъл с големина 60 . Лицето на сечението, получено от пресичането на пирамидата с тази равнина е S . Да се намери дължината на страната на основата.

[ammornil]

Основата на пирамида е квадрат, а околните ръбове на пирамидата са равни помежду си. През средите на две съседни страни на основата и върха на пирамидата е построена равнина, която сключва с равнината на основата ъгъл с големина 60 . Лицето на сечението, получено от пресичането на пирамидата с тази равнина е S . Да се намери дължината на страната на основата.

Screenshot 2023-03-17 160843.png (45.61 KiB) Прегледано 383 пъти

[tex]ABCD, AB=BC=CD=DA, \angle{DAB}=\angle{ABC}=\angle{BCD}=\angle{CDA}=90 ^\circ , DQ=QC, BP=PC[/tex]
[tex]M \notin p(ABCD), AM=BM=CM=DM, \angle{(p(ABCD),p(PQM))}=60 ^\circ, S_{_{\triangle{PMQ}}}=S[/tex]

[tex]AB=x \Rightarrow DB=x\sqrt{2} \Rightarrow PQ=\frac{x\sqrt{2}}{2} \text{( -средна отсечка в } \triangle{BDC} \text{ )}[/tex]
Понеже околните ръбове са равни, върхът на пирамидата се проектира в центъра на основата, което за квадрат е пресечната точка на диагоналите му.
[tex]AC \cap BD = O, MO \bot p(ABCD) \Rightarrow MO \bot BD[/tex]
Диагоналите на квадрата са взаимно перпендикълярни [tex]\Rightarrow CO \bot BD[/tex]
[tex]PQ \cap AC = F, \begin{cases} PQ \| BD \\ CO \bot BD \end{cases} \Rightarrow CO \bot PQ, \triangle{PQC} \text{ е равнобедрен } \Rightarrow CF (h, l, m) \Rightarrow PF=QF[/tex]
[tex]OPCQ \text{ квадрат } \Rightarrow CO=PQ \Rightarrow OF=\frac{1}{2}\cdot OC=\frac{1}{2}\cdot \frac{x\sqrt{2}}{2}=\frac{x\sqrt{2}}{4}[/tex]
Всички околни стени на пирамидата са еднакви триъгълници [tex]\Rightarrow MP=MQ[/tex] като съответни височини в еднакви триъгълници [tex]\Rightarrow \triangle{PQM}[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow MF (h, l, m) \Rightarrow MF \bot PQ[/tex]

[tex]\begin{cases} MO \bot BD \\ FO \bot BD \\ MF \bot PQ \end{cases} \Rightarrow \angle{OFM} \text{ e линеен на двустенния } \angle{(p(ABCD),p(PQM))} \Rightarrow \angle{OFM}=60 ^\circ[/tex]

[tex]S_{_{\triangle{PMQ}}}=\frac{MF\cdot PQ}{2} \Rightarrow MF=\frac{2\cdot S}{PQ}=\frac{4\cdot S}{x\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}\cdot S}{x}[/tex]

[tex]\frac{OF}{MF}=\cos{\angle{OFM}} \Rightarrow OF=MF\cdot \cos{60^\circ } \Rightarrow \frac{x\sqrt{2}}{4}=\frac{2\sqrt{2}\cdot S}{x}\cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{4}=\frac{S}{x} \Leftrightarrow x^{2}=4S \Rightarrow[/tex] $$ x=2\sqrt{S} $$