задача от ТУ

[Гост]

Пирамидата ABCD има за основа равностранен триъгълник АBC , околен ръб AD, перпендикулярен на ABC и радиус на вписаната в нея сфера с дължина 1 cm.
Лицата на триъгълник BCD и триъгълник ABC се отнасят както 2 : [tex]\sqrt{2}[/tex] . Да се намери височината на пирамидата.

[S.B.]

Пирамидата ABCD има за основа равностранен триъгълник АBC , околен ръб AD, перпендикулярен на ABC и радиус на вписаната в нея сфера с дължина 1 cm.
Лицата на триъгълник BCD и триъгълник ABC се отнасят както 2 : [tex]\sqrt{2}[/tex] . Да се намери височината на пирамидата.

Без заглавие - 2023-03-21T221204.388.png (324.98 KiB) Прегледано 426 пъти

[tex]\triangle ABC[/tex] е ортогоналната проекция на [tex]\triangle BCD[/tex]
$$ \Rightarrow S_{ABC } = S_{BCD }.\cos \varphi$$
където[tex]\angle \varphi[/tex] е линейният ъгъл на двустенният ъгъл между равнината на [tex]\triangle ABC[/tex] и равнината на [tex]\triangle BCD[/tex]

По условие[tex]\frac{ S_{BCD } }{ S_{ABC } } = \frac{2}{ \sqrt{2} } \Leftrightarrow \frac{ S_{ABC } }{ S_{BCD } } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \Leftrightarrow S_{ABC } = S_{BCD } . \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow \angle \varphi = 45 ^\circ $$
[tex]AM \bot BC[/tex]
Построявам сечението на пирамидата по $AD$ и $AM$ в което вписаната сфера се явява като вписана в [tex]\triangle AMD[/tex] окръжност с радиус $r = 1$
[tex]\triangle MAD[/tex] е равнобедрен и правоъгълен :
[tex]DA = AM = h , DM = h \sqrt{2}[/tex]
[tex]\begin{cases} S_{AMD } = \displaystyle\frac{ h^{2 } }{2} \\ S_{AMD } = p.r \end{cases} \Rightarrow \displaystyle \frac{ h^{2 } }{2} = \displaystyle \frac{2h + h \sqrt{2} }{2}.1 \Leftrightarrow h^{2 } = h(2 + \sqrt{2}) , h >0[/tex]
$$\Rightarrow h = 2 + \sqrt{2} $$