Доказателство. Как трябва да се докаже?

[Гост]

Докажете че при отгоналното проектиране медицентъра триъгълника се проектира в медицентъра на проекцията му

[ptj]

Доколкото си спомням матрицата на прехода между базата на равнината първообраз и съответната база в равнината образ трябва да е неизродена. Това е необходимо и достатъчно условие изображението (в случая ортогонално проектиране) да запазва операциите над вектори.

П.П. Горното гарантира, че всяка база ще се изобразява в база и обратното, (т.е. запазва линейната независимост).

[grav]

Доколкото си спомням матрицата на прехода между базата на равнината първообраз и съответната база в равнината образ трябва да е неизродена. Това е необходимо ...

Ортогонална проекция от пространството в равнина. А не преобразувание на равнината в себе си. Това изображение, разглеждано като изображение на пространството в себе си, определено е изродено.

[ptj]

Никъде на съм казал, че имаме преобразувание на равнината в себе си. Точно обратното имаме изображение на една равнина в друга, и двете намиращи се в пространството. Не е необходимо да разглеждаме тримерна матрица на прехода, защото връзката между координатите в двете равнини може да се зададе с двумерна матрица (именно нея имах предвид) и тя ще е неизродена. Последното е еквиваленто на факта, че ако разглеждаме матрица на прехода в тримерното пространство, то тя ще е от ранг 2. Това ще е напълно достатъчно за преминаване от една база в едно двумерно пространство в друга база в друго двумерно пространство.

П.П. Случая на ортогонални равнини естествено е извън определението за ортогонално проектиране.

[ptj]

1.) Нека двете равнини не са успоредни са. Понеже всички бази в равнината са с ранг 2, то без загуба на общност може да изберем ортонормирана база за равнината първообраз. Освен това може да изберем съответния базов вектор по първата координата да лежи на пресечницата на двете равнини. Тогава матрицата на прехода за ортогоналното проектиране от първата равнината (първообраз) във втората (образ) ще е:

[tex]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & cos(\nu)
\end{pmatrix}[/tex], където [tex]\nu[/tex] е мярката на двустенния ъгъл между двете равнини. .

Горната матрица очевидно е неизродена. Предполагам ,че няма да искаш да доказвам, че съоветната матрица на прехода за всеки друг базис е със същия ранг.

2.) За успоредни равнини матрицата на прехода очевидно е :

[tex]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}[/tex].

Естствено получихме резултат аналогичен на първия случай, защото за упоредни равнини може да приемем, че тяхната пресечница е в безкрайността.

П.П. Ортогоналното проектиране е линейно преобразувание, защото запазва линейната комбинация на вектори.

Разбирам, че формално погледнато няма равенство между векторите от различните равнини, но то не е и необходимо, защото два вектора от различните равнини са равни само когато лежат на пресечницата. Това е напълно нормално, защото ние се интересуваме само от самата трансформация на векторите и не търсим пряко равенство между първообраз и образ.

[ptj]

Извинявам се за острия тон вчера.
Писах късно, но сега виждам грешката си. Не може да се използва директно двумерна матрица, защото базовите вектори все пак имат три координати.

[ptj]

Мисля, че е добре да започна отначало:

1.) Приемам изцяло забележката на grav .

2.) Mнението ми предлагащо, матрица на прехода от втори ранг съдържа грешки.

3.) Самия въпрос е интересен, защото предполага различни начини на решение:

3.а) Най- лесния (достъпен даже и за ученици) начин е да се докаже, че при успоредно проектиране на отсечка съотношението между дължината на образ и първообраз е контанта.
Тогава всеки триъгълник ще се проектира в подобен на него, т.е. медицентър също ще се проектира в медицентър.

3.б) Втория начин е да се използва, че равнината първообраз е двумерно пространство и в нея може да се въведе ортогонална база, като от един от базовите вектори лежи на пресечницата на двете равнини (първообраз и образ). Достатъчно е да покажем, че изображението ортогонално проектиране преобразува изходната база в нова база в равнината образ.
Това следва от факта, че образите на изходните базови вектори също са перпендикулярни помежду си (теорема за трите перпендикуляра) и са с ненулева дължина (в дадения по-рано пример единия вектор запазва дължината си, а втория е съответно произведение на дъжината на първообраза си и косинуса от двустенния ъгъл между равнините).
Има теорема гласяща, че щом едно изображение преобразува база в база, то то запазва "линейната комбинация на вектори". Непосредствено следствие от последното и векторното равенство за медицентъра е, че медицентър на триъгълник ще се изобразява в медицентър за образа на триъгълника.

3.в.) Третия начин е свързан със забележката на grav.

Основния проблем тук е, че равнината е изкривено тримерно пространство имащо само два базови тримерни вектора и не може да ползваме теоремите за преход от едно тримерно пространство в друго.
Затова ще използваме малка хитрост :
Знаем, че ротацията е линейно преобразование (доказателството присъства в някои курсове на Висшата математика и може да се намери в интернет). Понеже произведението на две линейни преобразувания също са линейни преобразувания,а също и за всяко линейно преобразувание има обратно, то може да въведем ротация преобразуваща равнината образ в трета рввнина съвпадаща с равнината първообраз.
Сега вече може да изполваме, че първата и третата равнина съвпадат, т.е. може да използваме теоремите за преход от една база в друга в едно и също двумерно линейно пространство.
Всичко, което ще се иска, ще е връзката между координатие на векторите от базата първообраз и координатите на получения и образ в третата равнина (след ортогонално проектиране и транслация). Т.е. показваме, че образа на векторната двумерна база при произведението на ортогонално проектиране и транслация се изобразява в нова база (запазва линейната независимост на векторите). Последното ни гарантира, че произведението на двете изображения (ортогонално проектиране и транслация) е линейно преобразувание. Накрая може да уможим от ляво по обратна транслация и да получим изходното ортогонално проектиране, т.е. доказваме, че то също е линейно преобразувание.

П.П. Една от основните грешки в предишните ми мнения бе несъответвие на понятията, защото матрица на прехода се свърза с изображение на n-менро векторно пространство в себе си.

[grav]

Ако [tex]V[/tex] и [tex]W[/tex] са двумерни пространства и [tex]\phi : V\rightarrow W[/tex] линeйно изображение, ако избереш базиси то винаги се представиа с две на две матрица.

[ptj]

Т.е. тогава и мнението ми, за което мислех че е грешно, ще се яви коретно доказано ли?

Не разбирам изцяло смисъла на забележката:

По-скоро въпроса ми е :

Ако двете равнини имат база от два вектора, всеки съдържащ по три координати (т.е. те са изкривени тримерни пространства), то матрицата на прехода между тях 3x3 ли трябва да е или 2x2?
Знам,че всичко трябва да идва от правилото за умножение на матрици, но може да съм объркал последователността в него.

Мога да го обясня по друг начин:
Формално 3-мерно линейно пространство, може да се зададе чрез база от 3 вектора. Но в този случай "изкривяването" прави третия линейно зависим от другите 2. Тогава можем ли "условно да оставим присътвието на третия вектор" и да получим матрица на прехода 3x3 (с вероятен ранг 2), която ще преобразува въпросната тройка вектори в двумерна база, т.е единия да е линейно засим от другите два. Накрая, ако всичко казано дотук е възможно, от ранга на матрицата на прехода няма ли да следва директно, че новополученото пространство образ ще изкривено и ще има размерност 2?

П.П. Правя предположения по спомени свързани с връзката между размерността на линеен оператор и размерността на неговото ядро.