Пирамида

[Гост]

Основата ABCD на пирамидата ABCDM e квадрат със страна 3 см. Околния ръб MD е перпендикулярен на равнината на основата и е равен на основния ръб. Повърхнината на пирамидата в см² е:

[peyo]

Основата ABCD на пирамидата ABCDM e квадрат със страна 3 см. Околния ръб MD е перпендикулярен на равнината на основата и е равен на основния ръб. Повърхнината на пирамидата в см² е:

Тук можем да ползваме Хероновата формула или пък да умножаваме вектори в 3D. Вместо това ще забележим, че всички страни са накакви правоъгълни триъгълници и лицето на тях е a*b/2,

Пирамидата има 5 страни. Основата е 3*3=9. Двата триъгълника AMD и CMD заедно правят още един такъв квадрат и лицето дотук става 18. Останалите два триъгълника катетите имат страна 3 и [tex]2\sqrt{3}[/tex] и така добавяме 2*3*[tex]2\sqrt{3}[/tex] /2 = 6[tex]\sqrt{3}[/tex] или краен отговор:
18+6*sqrt(3) = 28.392304845413264

[S.B.]

Основата ABCD на пирамидата ABCDM e квадрат със страна 3 см. Околния ръб MD е перпендикулярен на равнината на основата и е равен на основния ръб. Повърхнината на пирамидата в см² е:

Без заглавие - 2023-04-11T151701.071.png (248.41 KiB) Прегледано 346 пъти

Един доста по-различен поглед върху задачата

[tex]DA[/tex] е проекцията на $MA$ върху равнината на основата.
[tex]DA \bot AB \Rightarrow[/tex] според теоремата за трите перпендикуляра [tex]MA \bot AB[/tex] също ,
[tex]\Rightarrow \triangle MAB[/tex] е правоъгълен с катети $MA$ и $AB$

$$S_{ABCDM } = S_{ок. } + S_{ABCD }$$
[tex]\triangle MAD \cong \triangle MCD , \triangle ABM \cong \triangle CBM[/tex]
[tex]S_{ок. } = 2 S_{MAD } + 2 S_{ABM }[/tex]
[tex]S_{MAD } = \frac{AD.MD}{2} = \frac{9}{2}[/tex]
За [tex]\triangle MAD[/tex] по Питагорова теорема намирам [tex]AM = 3 \sqrt{2}[/tex]
[tex]S_{ABM } = \frac{AB.AM}{2} = \frac{9 \sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]S_{ок. } = 2. \frac{9}{2} + 2. \frac{9 \sqrt{2} }{2} = 9(1 + \sqrt{2} )[/tex]
[tex]S_{ABCD } = 9[/tex]
[tex]S_{ABCDM } = 9(1 + \sqrt{2}) + 9[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCDM } = 9(2 + \sqrt{2}) cm^{2 } $$

[peyo]

Основата ABCD на пирамидата ABCDM e квадрат със страна 3 см. Околния ръб MD е перпендикулярен на равнината на основата и е равен на основния ръб. Повърхнината на пирамидата в см² е:

Без заглавие - 2023-04-11T151701.071.png

$$\Rightarrow S_{ABCDM } = 9(2 + \sqrt{2}) cm^{2 } $$

Този отговор е по-верен, аз съм сгрешил при изчисляването на AM.

[peyo]

Основата ABCD на пирамидата ABCDM e квадрат със страна 3 см. Околния ръб MD е перпендикулярен на равнината на основата и е равен на основния ръб. Повърхнината на пирамидата в см² е:

Тук можем да ползваме Хероновата формула или пък да умножаваме вектори в 3D. Вместо това ще забележим, че всички страни са накакви правоъгълни триъгълници и лицето на тях е a*b/2,

Да решим сега задачата като умножаваме вектори в 3D, защото това е супер забавно!

#Имаме основата:
A=(0,0,0); B=(3,0,0);C=(3,3,0); D=(0,3,0);M=(0,3,3);

import numpy as np
A=np.array(A);B=np.array(B);C=np.array(C);D=np.array(D);M=np.array(M);

#И сега в 3D лице на пространствен триъгълник е нещо такова:

[tex]S = \frac{\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}{2}[/tex]

#Ok, остава да направим 5 крос продукта и 5 магнитюди и да ги съберен. Ще направим една поможна функция, зада не пишем както хамали:

Код: Избери целия код

def area(a,b):
    return np.linalg.norm(np.cross(a,b))/2

И сега намираме вектор на страна като извадим точките. И отговоа който търсим е:

In [30]: 2*area(B-A,D-A) + 2*area(D-A,M-D) + 2*area(M-A,B-A)
Out[30]: 30.727922061357855

Проверка с отговора на S.B:
In [31]: float(9*(2+sqrt(2)))
Out[31]: 30.727922061357855

Съвпадат точно, значи този метод с умножаване на вектори в 3D сякаш работи.

[peyo]

Основата ABCD на пирамидата ABCDM e квадрат със страна 3 см. Околния ръб MD е перпендикулярен на равнината на основата и е равен на основния ръб. Повърхнината на пирамидата в см² е:

Тук можем да ползваме Хероновата формула или пък да умножаваме вектори в 3D. Вместо това ще забележим, че всички страни са накакви правоъгълни триъгълници и лицето на тях е a*b/2,...

Ok, да решим сега задачата и с Хероновата формула за пълнота.

$s = (a+b+c)/2$
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

# Имаме всички координати на точките:
A=(0,0,0); B=(3,0,0);C=(3,3,0); D=(0,3,0);M=(0,3,3);

import numpy as np
A=np.array(A);B=np.array(B);C=np.array(C);D=np.array(D);M=np.array(M);

# всички ръбове са:
AB = B-A
BC = C-B
CD = D-C
DA = A-D
AM = M-A
BM = M-B
CM = M-C
DM = M-D

# това по-горе са вектори, а на нас ни трябват дължините им, затова ще направим помощна функция
dist = lambda x: np.linalg.norm(x)

# и ще ги заместим
AB,BC,CD,DA,AM,BM,CM,DM = map( dist, [AB,BC,CD,DA,AM,BM,CM,DM])

# още една помощна фукция за полупараметъра
s_f = lambda a,b,c: (a+b+c)/2

# и за Херон:

Код: Избери целия код

def h(a,b,c):
    s = s_f(a,b,c)
    return np.sqrt( s*(s-a)*(s-b)*(s-c) )

# и отговора който търсим е:

In [6]: 3*3 + h(AB,BM,AM)+ h(BC,BM,CM) + h(CD,CM,DM) + h(DA,DM,AM)
Out[6]: 30.727922061357845

Което изглежда да е вярно.