Задача от конус

[Гост]

Радиусът на основата на равностранен конус (осното сечение е равностранен триъгълник) e r. намерете лицето на сечението, прекарано през две образуващи, ъгълът между които е 30°

[ammornil]

Радиусът на основата на равностранен конус (осното сечение е равностранен триъгълник) e r. намерете лицето на сечението, прекарано през две образуващи, ъгълът между които е 30°

.
Според мен сечението не е определено, защото не знаем нищо за височината на конуса. Ако височината на конуса е свободна променлива [tex]H[/tex], или приемем за независима променлива ъгълът между образувателната и равнината на основата [tex]\theta[/tex], то сечението може да се изведе като функция на едно от тях и радиуса на основата.

Screenshot 2023-04-24 215838.png (35.75 KiB) Прегледано 1261 пъти

От равностранен конус следва, че вурхът на пирамидата се проектира ортогонално в центъра на основата: [tex]MO \bot AB, MO\bot OC[/tex]

[tex]\triangle{BCM} \rightarrow BM=CM=l \Rightarrow BC^{2}=BM^{2}+CM^{2}-2\cdot{BM}\cdot{CM}\cdot{\cos{30^{\circ}}}=2BM^{2}-2BM^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=(2-\sqrt{3})BM^{2} \Rightarrow[/tex] $$ BC^{2}=(2-\sqrt{3})BM^{2} $$

Скрит текст: покажи

[tex]p=\frac{a+b+c}{2} \Rightarrow \hspace{2em} p-a=\frac{b+c-a}{2};\hspace{2em} p-b=\frac{a+c-b}{2};\hspace{2em} p-c=\frac{a+b-c}{2};\hspace{2em} \because a=b \Rightarrow p-a=p-b=\frac{c}{2}[/tex]

[tex]S_{BCM}=\sqrt{\left(\frac{2BM+BC}{2} \right)\cdot \left(\frac{BC}{2} \right)\cdot \left(\frac{BC}{2} \right)\cdot \left(\frac{2BM-BC}{2} \right)}=\frac{1}{4}\sqrt{(4BM^{2}-BC^{2})\cdot (BC^{2})}=\frac{1}{4}\sqrt{[4BM^{2}-((2-\sqrt{3})BM^{2})]\cdot ((2-\sqrt{3})BM^{2})}[/tex]

[tex]S_{BCM}=\frac{1}{4}\sqrt{[(4-2+\sqrt{3})\cdot{BM^{2}})\cdot (2-\sqrt{3})\cdot BM^{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})BM^{4}}=\frac{BM^{2}}{4}\sqrt{4-3}[/tex]$$ S_{BCM}=\frac{BM^{2}}{4} $$

и оттук, ако знаем [tex]H \rightarrow BM^{2}=H^{2} +r^{2} \Rightarrow[/tex]$$ S_{BCM}=\frac{H^{2} +r^{2}}{4} $$

или ако [tex]\angle{OBM}=\theta \rightarrow BM=\frac{r}{\cos{\theta}} \Rightarrow[/tex] $$ S_{BCM}=\frac{r^{2}}{4\cos^{2}{\theta}} $$

[S.B.]

Радиусът на основата на равностранен конус (осното сечение е равностранен триъгълник) e r. намерете лицето на сечението, прекарано през две образуващи, ъгълът между които е 30°

Без заглавие - 2023-04-25T073500.679.png (316.5 KiB) Прегледано 1249 пъти

След като по условие осното сечение на конус с радиус на основата $r$ е равностранен триъгълник ,то образувателната $l = 2r$
Сечението образувано от две образувателни,ъгълът между които е [tex]30 ^\circ[/tex] e [tex]\triangle MCB[/tex]
[tex]S_{ \triangle MCB} = \frac{MC.BC}{2}.\sin \angle MCB \Leftrightarrow S_{ \triangle MCB} = \frac{ l^{2 } }{2} .\sin 30 ^\circ = \frac{ (2r)^{2 } }{2} . \frac{1}{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ \triangle MCB} = r^{2 } $$

[ammornil]

Да, аз го решавах за равнобедрен...

За равностранен триъгълник [tex]\theta = 60^{\circ} \Rightarrow S_{MBC}=\frac{r^{2}}{4\cdot{\cos^{2}{60^{\circ}}}}=\frac{r^{2}}{4\cdot{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}=r^{2}[/tex]