11клас ПП стереометрия

[Гост]

Моля за помощ за тези 5 задачи! Благодаря предварително

зад.1. Основен ръб на правилна триъгълна пирамида е 2√2, а двустенният му ъгъл между две околни стени е 120°. Намерете околния ръб.
зад. 2. Намерете двустенният ъгъл, определен от две съседни околни стени на правилна четириъгълна пирамида ако основният ръб е 2, околният е √3.
зад. 3. Околните стени на правилна триъгълна пирамида ABCD сключват с основата ABC ъгли с мярка 30°. Точка P е от височината DO, като DP:PO=1:2 . Ако разстоянието от P до AD е 2/√13, намерете околната повърхнина на пирамидата.
зад.4. Дадена е правилна триъгълна призма. Ъгълът между диагонал на околна стена и равнината на съседна околна страна е φ.
а) докажете, че φ<60°
б) ако sinφ= √3/4 и основният ръб е 2см, намерете околната повърхнина на призмата

[S.B.]

Темата е дублирана в раздел 11 клас!
Моля администратораът да отстрани дублираната тема,за да не стават грешки!

[S.B.]

Моля за помощ за тези 5 задачи! Благодаря предварително

зад.1. Основен ръб на правилна триъгълна пирамида е 2√2, а двустенният му ъгъл между две околни стени е 120°. Намерете околния ръб.

Без заглавие - 2023-05-13T214205.703.png (336.36 KiB) Прегледано 1832 пъти

Построявам [tex]\angle APB = 120 ^\circ : \begin{cases} PA \bot DC\\ PB \bot DC\end{cases}[/tex]
Построявам в [tex]\triangle ABC , CM \bot AB , M \in AB[/tex]
За [tex]\triangle MBC[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам [tex]CM = \sqrt{6}[/tex]
[tex]\triangle APB[/tex] е равнобедрен ([tex]AP = BP[/tex] като височини в еднакви триъгълници - [tex]\triangle ACD \cong \triangle BCD[/tex])
[tex]\Rightarrow PM[/tex] е височина,медиана и ъглополовяща
От [tex]\triangle PMB \rightarrow \frac{MB}{MP} = \tg 60 ^\circ \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{2} }{MP} = \sqrt{3} \Rightarrow MP = \frac{ \sqrt{6} }{3}[/tex]
[tex]\begin{cases} DC \bot AP\\ DC \bot BP\end{cases} \Rightarrow DC \bot (ABP) \Leftrightarrow DC \bot MP \Rightarrow \triangle MCP[/tex] е правоъгълен.
Нека [tex]\angle PCM = \varphi[/tex]
От [tex]\triangle PMC \rightarrow\displaystyle \frac{PM}{MC} = \sin \angle PCM \Leftrightarrow \displaystyle \frac{ \displaystyle\frac{ \sqrt{6} }{3} }{ \sqrt{6} } = \sin \varphi \Rightarrow \sin \varphi = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{2 \sqrt{2} }{3}[/tex]
Пирамидата $ABCD$ е правилна,триъгълна [tex]\Rightarrow[/tex] върхът $D$ се проектира върху медицентъра $H$ на [tex]\triangle ABC[/tex] и
$CH : HM = 2:1$[tex]\Leftrightarrow CH = \frac{2 \sqrt{6} }{3} , HM = \frac{ \sqrt{6} }{3}[/tex]
[tex]DH \bot (ABC)[/tex]
От [tex]\triangle DHC \rightarrow \displaystyle\frac{HC}{DC} = \cos \varphi \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\displaystyle \frac{2 \sqrt{6} }{3} }{DC } = \displaystyle \frac{2 \sqrt{2} }{3}[/tex]
$$\Rightarrow DC = \sqrt{3} $$

[S.B.]

Моля за помощ за тези 5 задачи! Благодаря предварително

зад. 2. Намерете двустенният ъгъл, определен от две съседни околни стени на правилна четириъгълна пирамида ако основният ръб е 2, околният е √3.

Без заглавие - 2023-05-14T075824.941.png (326.16 KiB) Прегледано 1816 пъти

Построявам [tex]\angle DPB = \varphi : \begin{cases} PD \bot CM \\ PB \bot CM\end{cases}[/tex]
[tex]AC \cap DB = H[/tex]
[tex]\triangle DPB[/tex] е равнобедрен (ЗАЩО?) [tex]\Rightarrow PH[/tex] е височина,медиана и ъглополовяща.
Пирамидата $ABCDM$ е правилна,четириъгълна [tex]\Rightarrow[/tex] върхът $M$ се проектира в т.$H$
Ръбът [tex]AB = 2 \Rightarrow AC = BD = 2 \sqrt{2} \Rightarrow CH = BH = \sqrt{2}[/tex]
Нека [tex]\angle MCH = \alpha[/tex]
От [tex]\triangle MCH \rightarrow \frac{HC}{MC} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } = \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \frac{ \sqrt{6} }{3} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex]
[tex]\begin{cases} MC \bot PB\\ MC \bot PD\end{cases} \Rightarrow MC \bot (PDB) \Rightarrow MC \bot PH \Rightarrow \triangle PHC[/tex] е правоъгълен
[tex]\Rightarrow \frac{HP}{HC} = \sin \alpha \Leftrightarrow \frac{HP}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow HP = \frac{ \sqrt{6} }{3}[/tex]
От[tex]\triangle PHB \rightarrow \tg \frac{ \varphi }{2} = \frac{HB}{HP} \Leftrightarrow \tg \frac{ \varphi }{2} = \frac{ \sqrt{2} }{ \frac{ \sqrt{6} }{3} } \Rightarrow \tg \frac{ \varphi }{2} = \sqrt{3} \Rightarrow \frac{ \varphi }{2} = 60 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \varphi = 120 ^\circ $$

[stefanb]

пп.png (366.42 KiB) Прегледано 1813 пъти

DP/PO=1/2
DP=x
PO=2x
DO=3x
1) AD/AO=DP/PF
cotg[tex]\angle[/tex]OED=OE/DO=cotg30=[tex]\sqrt{3}[/tex]
OE=[tex]\sqrt{3}[/tex]DO=3[tex]\sqrt{3}[/tex]x
AO=2OE=6[tex]\sqrt{3}[/tex]x
от1) AD=y=x.6[tex]\sqrt{3}[/tex]x/(2[tex]\sqrt{13}[/tex])
y=[tex]x^{2 }[/tex]3.[tex]\sqrt{3}[/tex]/[tex]\sqrt{13}[/tex]
2)[tex]x^{2 }[/tex]=y[tex]\sqrt{13}[/tex]/(3[tex]\sqrt{3}[/tex])
[tex]\triangle[/tex]AOD
[tex]y^{2 }[/tex]=3.36[tex]x^{2 }[/tex]+9[tex]x^{2 }[/tex]
заместваме [tex]x^{2 }[/tex] от 2)
и т.н.

[Гост]

[tex]x^{2 } \ge[/tex]

geogebra-export.png (358.26 KiB) Прегледано 1786 пъти

AB=a
AD=b
CG=c
CD=d
DG[tex]\bot[/tex]EF
DG[tex]\bot[/tex]EB
[tex]\angle[/tex]DCG=[tex]\varphi[/tex]
cos[tex]\varphi[/tex]=c/d
c=[tex]\sqrt{ b^{2 }+ a^{2 }/4 }[/tex]
d=[tex]\sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } }[/tex]
cos[tex]\varphi[/tex]=([tex]\sqrt{4 b^{2 }+ a^{2 } }[/tex])/(2[tex]\sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } }[/tex])
([tex]\sqrt{4b^{2 }+ a^{2 } }[/tex])/(2[tex]\sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } }[/tex])>1/2=([tex]\sqrt{b^{2 }+ a^{2 } }[/tex])/(2[tex]\sqrt{ a^{2 }+ b^{2 } }[/tex])
[tex]\Rightarrow \varphi[/tex]<60
[tex]\triangle[/tex]DGF
DG=[tex]\sqrt{4-1}[/tex]=[tex]\sqrt{3}[/tex]
DG/CD=[tex]\sqrt{3}[/tex]/4
[tex]\Rightarrow[/tex]CD=4
[tex]b^{2 }[/tex]=[tex]d^{2 }-a^{2 }[/tex]=16-4=12
b=2[tex]\sqrt{3}[/tex]
S=3.2.2[tex]\sqrt{3}[/tex]=12[tex]\sqrt{3}[/tex]