Две задачки от пирамида

[Гост]

1зад. Околните стени на триъгълна пирамида сключват с равнината на основата равни ъгли, а лицата им са 32.5 , 35 и 37,5, височината на пирамидата е 3. Да се намери основните ръбове.2 2зад. Основата на пирамида е ромб със страна b. Две от околните и стени са перпендикулярни на равнината на основата и сключват помежду си тъп ъгъл бета. Другите две са наклонени към основата под ъгъл алфа. Да се намери околната повърхнина на пирамидата.

[S.B.]

1зад. Околните стени на триъгълна пирамида сключват с равнината на основата равни ъгли, а лицата им са 32.5 , 35 и 37,5, височината на пирамидата е 3. Да се намери основните ръбове.

Без заглавие - 2023-06-03T101505.916.png (301.38 KiB) Прегледано 1177 пъти

Щом околните стени сключват с равнината на основата равни двустенни ъгли,тогава върхът на пирамидата се проектира върху центъра на вписаната в основата окръжност

Дадена е пирамидата $ABCM$, т.$O$ е център на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност с радиус
[tex]OM_{1 } = O M_{2 }= O M_{3 } = r[/tex], $OH = 3$ е височината на пирамидата.
[tex]\triangle OM M_{1 } \cong \triangle OM M_{2 } \cong \triangle OM M_{3 }[/tex] (по първи признак)[tex]\Rightarrow OM_{1 } = OM_{2 } = OM_{3 } = k[/tex]
Получихме,че околните стени имат равни апотеми.
Нека [tex]AB = c, BC = a, AC = b, S_{ABM } = 32,5, S_{BCM } = 35, S_{ACM } = 37,5[/tex]
[tex]S_{ABM } = \frac{AB. MM_{1 } }{2} \Leftrightarrow 32,5 = \frac{c.k}{2} \Rightarrow c = \frac{65}{k}[/tex]
[tex]S_{BCM }= \frac{BC. MM_{2 } }{2} \Leftrightarrow 35 = \frac{a.k}{2} \Rightarrow a = \frac{70}{k}[/tex]
[tex]S_{ACM } = \frac{AC.M M_{3 } }{2} \Leftrightarrow 37,5 = \frac{b.k}{2} \Rightarrow b = \frac{75}{k}[/tex]
[tex]p = \frac{a + b + c}{2} \Rightarrow p = \frac{105}{k}[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Херонова формула за лице на триъгълник:
[tex]S_{ABC } = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \Leftrightarrow S_{ABC } = \sqrt{ \frac{105}{k}. \frac{40}{k}. \frac{35}{k}. \frac{30}{k} } \Leftrightarrow S_{ABC } = \sqrt{ \frac{ 35^{2 }. 3^{2 }. 2^{2 }. 10^{2 } }{ k^{4 } } } \Rightarrow S_{ABC } = \frac{2100}{ k^{2 } }[/tex]
От друга страна знаем ,че:
[tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{105}{k}.r[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{105}{k}.r = \frac{2100}{ k^{2 } } \Rightarrow r = \frac{20}{k}[/tex]
За [tex]\triangle OM M_{1 }[/tex] прилагам питагорова теорема и получавам [tex]r^{2 } = k^{2 } - 9[/tex]

Образувам:
[tex]\begin{array}{|l} r^{2 } = k^{2 }- 9 \\ r = \displaystyle\frac{20}{k} \end{array} \Leftrightarrow k^{4 } - 9 k^{2 } - 400 = 0[/tex]
Нека [tex]k^{2 } = t >0[/tex]
[tex]t^{2 } - 9t - 400 = 0 ,D = 41^{2 } , t_{1,2 } = \frac{9 \pm 41 }{2} , t_{1 } = 25, t_{2 } < 0[/tex]
[tex]k^{2 } = t \Leftrightarrow k^{2 } = 25 \Leftrightarrow k = \pm 5 , k>0 \Rightarrow k = 5[/tex]
За ръбовете $AB,BC,AC$ получавам :
$$c = \frac{65}{5} \Rightarrow AB = 13$$
$$a = \frac{70}{5} \Rightarrow BC = 14$$
$$b = \frac{75}{5} \Rightarrow AC = 15$$

[S.B.]

2зад. Основата на пирамида е ромб със страна b. Две от околните и стени са перпендикулярни на равнината на основата и сключват помежду си тъп ъгъл бета. Другите две са наклонени към основата под ъгъл алфа. Да се намери околната повърхнина на пирамидата.

Без заглавие - 2023-06-03T170222.290.png (264.95 KiB) Прегледано 1165 пъти

$$S_{ок } = 2 S_{ADM } + 2 S_{ABM } $$
Построявам [tex]DH \bot AB, H \in AB[/tex]
[tex]\angle ADC = \beta \Rightarrow \angle DAB = 180 ^\circ - \beta[/tex]
[tex]\triangle AHD[/tex] е правоъгълен ,[tex]\frac{DH}{DA} = \sin (180 ^\circ - \beta ) \Rightarrow DH = b.\sin \beta[/tex]
[tex]DH[/tex] е проекция на $MH$ в равнината на ромба.[tex]DH\bot AB \Rightarrow MH \bot AB[/tex] (по теоремата за трите перпендикуляра)
$MH$ е апотема в стената $(ABM)$
[tex]S_{ABM } = \frac{AB.MH}{2} , S_{ADM } = \frac{AD.DM}{2}[/tex]

От [tex]\triangle MDH :[/tex]
[tex]\frac{DH}{MH} = \cos \alpha \Leftrightarrow MH = \frac{DH}{\cos \alpha } \Leftrightarrow MH = \frac{b\sin \beta }{\cos \alpha } \Rightarrow S_{ABM } = \frac{ b^{2 }\sin \beta }{2\cos \alpha }[/tex]
[tex]\frac{DM}{DH}= \tg \alpha \Leftrightarrow DM = DH.\tg \alpha \Rightarrow DM = b\sin \beta.\tg \alpha \Rightarrow S_{ADM } = \frac{ b^{2 }\sin \beta\sin \alpha }{2\cos \alpha }[/tex]

[tex]S_{ок } = 2 S_{ABM } + 2 S_{ADM } = 2 \frac{ b^{2 }\sin \beta }{2\cos \alpha } + 2 \frac{ b^{2 }\sin \beta\sin \alpha }{2\cos \alpha } = \frac{ b^{2 }\sin \beta }{\cos \alpha }(1 + \sin \alpha )[/tex]