Може ли малко помощ (Пирамида)

[Гост]

Основата на пирамида е квадрат. Две от околните й стени са перпендикулярни на основата й, а другите две сключват с нея ъгъл alpha .Да се намери обемът на пирамидата, ако радиусът на описаната около коя да е от наклонените околни стени окръжност е R.

[S.B.]

Основата на пирамида е квадрат. Две от околните й стени са перпендикулярни на основата й, а другите две сключват с нея ъгъл alpha .Да се намери обемът на пирамидата, ако радиусът на описаната около коя да е от наклонените околни стени окръжност е R.

Без заглавие - 2023-06-15T093838.218.png (274.5 KiB) Прегледано 1147 пъти

Нека страната на $ABCD$ е $a$ , [tex]MD \bot (ABCD) ,MD = h[/tex]
$AD$ е проекцията на $AM$ в равнината $ABCD$, [tex]AD \bot AB \Rightarrow AM \bot AB \Rightarrow \triangle ABM[/tex] е правоъгълен (използвам теоремата за трите перпендикуляра), $MC$ е хипотенуза [tex]\Rightarrow MC = 2R[/tex] (защото по условие радиусът на описаната окръжност около[tex]\triangle ABM[/tex] е $R$)

[tex]\begin{cases} AM \bot AB\\ AD \bot AB\end{cases} \Rightarrow \angle MAD = \alpha[/tex]
От [tex]\triangle ADM[/tex] (правоъгълен,ЗАЩО?) [tex]\rightarrow \frac{MD}{AD} = \tg \alpha \Leftrightarrow \frac{h}{a} = \tg \alpha[/tex]
$$ \Rightarrow h = a\tg \alpha$$
За [tex]\triangle DBM[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]DM^{2 } + DA^{2 } = MB^{2 } \Leftrightarrow h^{2 } + (a \sqrt{2}) ^{2 } = 4 R^{2 } \Leftrightarrow a^{2 } \tg^{2 } \alpha + 2 a^{2 } = 4 R^{2 } \Leftrightarrow a^{2 } = \frac{4 R^{2 } }{ \tg^{2 } \alpha + 2 }[/tex]
$$\Rightarrow a = \frac{2R}{ \sqrt{ \tg^{2 } \alpha + 2} }$$
[tex]V_{MABCD } = \frac{ S_{ABCD }.DM }{3} \Leftrightarrow V_{MABCD } = \frac{ a^{2 }h }{3} \Leftrightarrow V_{MABCD } = \frac{1}{3} \frac{4 R^{2 } }{ \tg^{2 } \alpha + 2} . \frac{2R}{ \sqrt{ \tg^{2 } \alpha + 2} }.\tg \alpha[/tex]

$$\Rightarrow V_{MABCD } = \frac{8 R^{3 }\tg \alpha }{3( \tg^{2 } \alpha+ 2) \sqrt{ \tg^{2 } \alpha + 2} }$$