Пирамида с основа ром

[Гост]

Ромбът ABCD със страна a и остър ъгъл 60° е основа на пирамидата SABCD.Ако SA=a докажете,че SB,SC и SD могат да бъдат страни на правоъгълен триъгълник.

[ammornil]

Според мен нещо липсва в тази задача. Не е ясно къде се проектира върхът на пирамидата в равнината на основата ѝ, нито какви ъгли сключват оконите ръбове с основните, което прави невъзможно еднозначното позициониране на върха на пирамидата.

[tex][/tex]

Screenshot 2023-07-04 222929.png (15.65 KiB) Прегледано 1354 пъти

[tex][/tex]

[KOPMOPAH]

Според мен нещо липсва в тази задача. Не е ясно къде се проектира върхът на пирамидата в равнината на основата ѝ, нито какви ъгли сключват оконите ръбове...[tex][/tex]

А според мене точно в това се крие чарът на задачата, (ако твърдението е вярно) - без значение къде се проектира върхът, сумата от квадратите на два от околните ръбове да е равна на квадрата на третия ръб.

[S.B.]

Ромбът ABCD със страна a и остър ъгъл 60° е основа на пирамидата SABCD.Ако SA=a докажете,че SB,SC и SD могат да бъдат страни на правоъгълен триъгълник.

Без заглавие - 2023-07-05T115124.072.png (327.83 KiB) Прегледано 1333 пъти

Щом върхът на пирамидата не може да се фиксира,търсим някакъв друг елемент,който да е фиксиран.
В случая [tex]AC \cap BD = O[/tex] - т.е. пресечната точка на диагоналите на ромба, която ги разполовява е фиксирана.
Независимо къде е позициониран върхът $S$ ,то $SO$ винаги се явява медиана за [tex]\triangle ACS[/tex] и [tex]\triangle BDS[/tex]
Изаползвам формулата за медиана в триъгълник:
$$ m_{c } = \frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2 } + 2b^{2 } - c^{2 } } $$
За [tex]\triangle ACS \rightarrow OS = \frac{1}{2} \sqrt{ 2AS^{2 } + 2 CS^{2 } - AC^{2 } }[/tex]

За [tex]\triangle BDS \rightarrow OS = \frac{1}{2} \sqrt{2 BS^{2 } + 2 DS^{2 } - BD^{2 } }[/tex]

По условие [tex]AS = a, \angle DAC = 60 ^\circ \Rightarrow BD = a , AO = \frac{a \sqrt{3} }{2} \Rightarrow AC = a \sqrt{3}[/tex]
Нека приемем $BS = b , CS = c ,DS = d$
[tex]\begin{cases} OS =\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2 } + 2 c^{2 } - (a \sqrt{3)} ^{2 } } \\ OS = \displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2 } + 2 d^{2 } - a^{2 } } \end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2 } + 2 c^{2 } - 3 a^{2 } } = \displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{2b^{2 } +2 d^{2 } - a^{2 } } \Leftrightarrow[/tex]

[tex]2 a^{2 } + 2 c^{2 } - 3 a^{2 } = 2 b^{2 } + 2 d^{2 } - a^{2 } \Leftrightarrow 2 c^{2 } - a^{2 } = 2 b^{2 } + 2 d^{2 } - a^{2 } \Leftrightarrow c^{2 } = b^{2 }+ d^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow CS^{2 } = BS^{2 } + DS^{2 } $$

Скрит текст: покажи

Дали ѝ липсва нещо на задачата?Да!Според мен липсва една буква в заглавието - основата не е "ром", а е "ромб

[ammornil]

Ако [tex]AS\bot p(ABCD)[/tex], когато [tex]\angle{BAD}=60^{\circ}[/tex]- твърдението е вярно, но ако [tex]\angle{BAD}=120^{\circ}[/tex], другите три околни ръба са равни ([tex]\triangle{DAS} \cong \triangle{CAS} \cong \triangle{BAS}[/tex]-правоъгълни, ранобедрени, с катети равни на основния ръб).

[Гост]

По презумпция се приема,че острият ъгъл е A.Ако трябва тъпият ъгъл да е A,то е задължително указано в условието на задачата.

[Гост]

А съществува ли Пирамида с основа текила

[KOPMOPAH]

По презумпция се приема,че острият ъгъл е A.Ако трябва тъпият ъгъл да е A,то е задължително указано в условието на задачата.

Няма такива презумпции. Условието затова е условие, за да зададе всичко ясно и недвусмислено.

[Румен Симеонов]

Твърдението не е вярно, ако ъгълът А не е остър (а В и D са острите).

[Гост]

Твърдението не е вярно, ако ъгълът А не е остър (а В и D са острите).

Значи трябва да се разгледат 2 случая

[S.B.]

Твърдението не е вярно, ако ъгълът А не е остър (а В и D са острите).

Значи трябва да се разгледат 2 случая

Наистина!!Трябваше да разгледам два случая,тъй като в задачата не е указано кой ъгъл е остър.Може би е пропуснато случайно при преписване на условието.

[Румен Симеонов]

Да, вярно е, че няма презумпции. ,,Условието затова е условие, за да зададе всичко ясно и недвусмислено.'. Освен това, дори и да се разгледат случаи, понеже в единият случай се стига до доказване на твърдението отричащо това, което е поставено да се докаже, всъщност излиза, че ни е поставено да докажем, че сегашната математика съдържа противоречие - че е противоречива. Ако добре си спомням, от теореми на Гьодел, следвало, че не може да се докаже вътре в съвременната математика нейната непротиворечивост. Ако обаче твърдението на задачата е вярно, би следвало противоречивост на математиката, а от там, известно как, следва, че може да се докаже всяко твърдение (както и неговото отрицание) и следователно, би могло да се докаже и непротиворечивостта на математиката. Значи, ако си позволим да ползваме Гьодел, твърдението на задачата не само води до проотиворечие (ако се докаже или се ,,приеме" за вярно), но и не може да бъде доказано. Следователно, отговорът на задачата доказано е ,,не съществува търсеното доказателство", или, иначе казано, отговорът е ,,няма решение". Всичко това, ако си позволим да ползваме теоремите на Гьодел, които са математически, в техния съдържателен смисъл като твърдения за математиката и за това какво би могло или не би могло да се докаже в математиката. Някои хора, включително и аз, малко се съмтяват дали наистина можем така да използваме теоремите на Гьодел. Вие какво мислити? Задачата (да се докаже ...) има ли решение? И, може ли да се докаже, че няма решение? Горните мои разсъждения наистина ли доказват, че задачата няма решение? Длъжен ли е ученикът (или решаващият) да доказва, че задачата няма решение (ако счита, че тя няма решение и ако тя наистина няма решение). Нима свойствата на задачата са част от самата нея, едва ли. Но тогава пък, ако ученикът е длъжен обратното - да приема, че задачата е правилно поставена и има право само и единствено да търси нейно решение (в случая - доказателство, че при поставените условия, а не само в част от случаите, да докаже, че ...) не трябва ли да се приеме за възможно и законно следното ,,решение":
,,Аз, като решаващ задачата, съм длъжен да приема и да работя в условията на твърдението, че задачата е коректно поставена и, следователно, че съществува доказателство на твърдението от задачата. Щом е така, аз се възползвам от това си право и правя доказателство състоящо се в това, че твърдението е вярно защото задачата иначе не би било допустимо и нямаше да бъде посставена в този и запис, а тя вече е поставена в този си вид. Накратко: щом трябва да считам, че съществува търсеното доказателство следва, че твърдението е вярно, понеже съществува доказателство за неговата вярност. С това завършвам мое(то) доказателство за верността на твърдението от задачата, а и завършвам и решението (си - това си решение) на задачата!!"?

[Румен Симеонов]

А съществува ли Пирамида с основа текила

Не е изключено да съществува и пирамида с основа текила, но тази е с ром. Това обяснява защо ѝ се клатят наклонените ръбове включително и тия които уж трябвало (винаги) да са с дължини, по които може да се образува правоъгълен триъгълник. А бе, на който пие много ром задачите му много се клатят.