Задачка за куб.(профилирана подготовка)

[Гост]

Задачка: Даден е куб ABCDA1B1C1D1, точка K, която лежи на AA1, като AK : KA1 =1:4 и точка M от AA1 такава, че AM : MA1 =4:1. Намерете cos (BK; D1M).
Благодаря за помощта предварително.

[KOPMOPAH]

Задачка за куб.(профилирана подготовка).png (8.79 KiB) Прегледано 1155 пъти

Векторна база с начало в т.$A$. Имаме $AB=AD=AA_1=1,~~AB\bot AD \bot AA_1$.

Изразяваме

$~~~~\overrightarrow {BK}=\overrightarrow {AK}-\overrightarrow {AB}=\frac 15\overrightarrow {AA_1} -\overrightarrow {AB}$
и
$~~~~\overrightarrow {D_1M}=\overrightarrow {A_1M}-\overrightarrow {A_1D_1}=\frac 15\overrightarrow {A_1A} -\overrightarrow {A_1D_1}=-\frac 15\overrightarrow {AA_1} -\overrightarrow {A_1D_1}=-\left(\frac 15\overrightarrow {AA_1} +\overrightarrow {A_1D_1}\right)=$.

Нататък

$~~~~\left|\overrightarrow {BK}\right|=\left|\overrightarrow {D_1M}\right|=\cdots=-\frac {\sqrt{26}}{5}$

Намираме скаларното им произведение:

$~~~~\overrightarrow {BK}\cdot\overrightarrow {D_1M}=\left|\overrightarrow {BK}\right|\cdot\left|\overrightarrow {D_1M}\right|\cdot \cos\Big(\sphericalangle\big(\overrightarrow {BK},\overrightarrow {D_1M}\big)\Big) =-\left(\frac 15\overrightarrow {AA_1} -\overrightarrow {AB}\right)\left(\frac 15\overrightarrow {AA_1} +\overrightarrow {A_1D_1}\right)=-\left( \underbrace{\frac 15\overrightarrow {AA_1}\cdot\frac 15\overrightarrow {AA_1}}_{\displaystyle=\frac 1{25}}+\cancel{\frac 15\overrightarrow {AA_1}\cdot\overrightarrow {A_1D_1}}-\cancel{\overrightarrow {AB}\cdot\frac 15\overrightarrow {AA_1}}-\cancel{\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {A_1D_1}}\right)$

$~~~~\frac {\sqrt{26}}{5}\cdot\frac {\sqrt{26}}{5}\cdot\cos\Big(\sphericalangle\big(\overrightarrow {BK},\overrightarrow {D_1M}\big)\Big)=-\frac 1{25}\Rightarrow\cos\Big(\sphericalangle\big(\overrightarrow {BK},\overrightarrow {D_1M}\big)\Big)=-\frac 1{26}$