Куб и тетраедър

[Гост]

1) ABCDA1B1C1D1 - куб. Намерете cos на ъгъл (AC1;(BDD1B1))

2) ABCD - правилен тетраедър, т.М - център на стената ACD, т.N - среда на ВС. Намерете sin на (ВМ; (AND)).

[ptj]

Очевидно (ACC_1A_1)[tex]\bot(BDD_1B_1)[/tex] (ротация на [tex]90^\circ[/tex] около пресечницата им).
Т.е. търсения ъгъл е между [tex]АC_1[/tex] и пресечницата на горните две равнини (правата свързваща центровете на квадратите [tex]ABCD[/tex] и [tex]A_1B_1C_1D_1[/tex].

Ъгъла е 45[tex]^\circ[/tex], защото лежи в равнобедрен правоъгълен триъгълник [tex]АHO[/tex], където [tex]H[/tex] e пресечена точка на диагоналите в основата [tex]ABCD[/tex], a [tex]O[/tex] е пресечената точка на диагоналите на куба.

Косинуса е [tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex].