Пирамида с основа правоъгълник

[lanita]

Основата на пирамида е правоъгълник ABCD, а околният ръб DM е перпендикулярен на равнината на основата. Да се намери лицето на повърхнината на пирамидата, ако AD= 2 см, АВ= 3 см, MD= 4 см.

[ammornil]

Основата на пирамида е правоъгълник ABCD, а околният ръб DM е перпендикулярен на равнината на основата. Да се намери лицето на повърхнината на пирамидата, ако AD= 2 см, АВ= 3 см, MD= 4 см.

[tex]\text{Лицето на основата е } B=S_{ABCD}=AB\cdot{AD} \\ \text{Височината на пирамидата е } H=MD\\ \text{Обемът на пирамидата е } V_{ABCDM}=\frac{1}{3}\cdot{B}\cdot{H}=\frac{1}{3}\cdot{AB\cdot{AD}}\cdot{MD}=\cdots[/tex]

[Гост]

Хубаво,ама се търси не обемът,а повърхнината...

[ammornil]

Хубаво,ама се търси не обемът,а повърхнината...

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-03-07 122436.png (13.45 KiB) Прегледано 1322 пъти

[tex]\\[/tex]Извинете за пропуска.

Основата на пирамида е правоъгълник ABCD, а околният ръб DM е перпендикулярен на равнината на основата. Да се намери лицето на повърхнината на пирамидата, ако AD= 2 см, АВ= 3 см, MD= 4 см.

[tex]AM=\sqrt{AD^{2}+MD^{2}}=2\sqrt{5} \\ BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{13} \\ BM=\sqrt{BD^{2}+MD^{2}}=\sqrt{29} \\ MC=\sqrt{MD^{2}+CD^{2}}=5 \\B=AB\cdot{AD}=6 \\ S_{ADM}=\frac{1}{2}\cdot{AD}\cdot{DM}=4 \\ S_{CDM}=\frac{1}{2}\cdot{CD}\cdot{DM}=6 \\ DA\bot{AB}, DM\bot p(ABCD) \Rightarrow DM\bot{AB} \Rightarrow \boxed{3\bot} MA\bot{AB} \Rightarrow S_{BAM}=\frac{1}{2}\cdot{AB}\cdot{MA}=3\sqrt{5} \\ DC\bot{BC}, DM\bot p(ABCD) \Rightarrow DM\bot{BC} \Rightarrow \boxed{3\bot} MC\bot{BC} \Rightarrow S_{BCM}=\frac{1}{2}\cdot{BC}\cdot{CM}=5 \\ \\ S_{1}=B+S_{ADM}+S_{CDM}+S_{BCM}+S_{ABM}=6+4+6+5+3\sqrt{5}=21+3\sqrt{5}[/tex]
Проверете за грешки при заместването и/или пресмятането защото смятах набързо и в ТЕХ. Това е един възможен подход за решение.

Ако не се сетите за трите перпендикуляра, може да се потрудите с Херон

Скрит текст: покажи

[tex]S_{BCM}=\sqrt{\frac{BC+CM+BM}{2}\cdot{}\frac{BC+CM-BM}{2}\cdot{}\frac{BC-CM+BM}{2}\cdot{}\frac{-BC+CM+BM}{2}} \\ S_{BCM}=\frac{1}{4}\cdot{\sqrt{[(BC+CM)+BM]\cdot{}[(BC+CM)-BM]\cdot{}[BM-(CM-BC)]\cdot{}[BM+(CM-BC)]}} \\ S_{BCM}=\frac{1}{4}\cdot{}\sqrt{[(BC+CM)^{2}-BM^{2}]\cdot{}[BM^{2}-(CM-BC)^{2}]} \\ S_{BCM}=\frac{1}{4}\cdot{}\sqrt{(BC^{2}+2\cdot{}BC\cdot{}CM+CM^{2}-BM^{2})\cdot{}(BM^{2}-CM^{2}+2\cdot{}CM\cdot{}BC-BC^{2})} \\ S_{BCM}=\frac{1}{4}\cdot{}\sqrt{(4+20+25-29)\cdot{}(29-25+20-4)}=\frac{1}{4}\cdot{}\sqrt{20\cdot{20}}=5 \\ S_{ABM}=\sqrt{\frac{AB+BM+AM}{2}\cdot{}\frac{AB+BM-AM}{2}\cdot{}\frac{AB-BM+AM}{2}\cdot{}\frac{-AB+BM+AM}{2}}\\ \text{аналогични преобразувания като за } S_{BCM} \\ \Rightarrow S_{ABM} =\frac{1}{4}\cdot{}\sqrt{(AB^{2}+2\cdot{}AB\cdot{}BM+BM^{2}-AM^{2})\cdot{}(AM^{2}-BM^{2}+2\cdot{}BM\cdot{}AB-AB^{2})} \\ S_{ABM} =\frac{1}{4}\cdot{}\sqrt{(9+6\sqrt{29}+29-20)\cdot{}(20-29+6\sqrt{29}-9)} \\ S_{ABM} =\frac{1}{4}\cdot{}\sqrt{(6\sqrt{29}+18)\cdot{}(6\sqrt{29}-18)} =\frac{1}{4}\sqrt{(6\sqrt{29})^{2}-18^{2}} =\frac{1}{4}\sqrt{720}=3\sqrt{5}[/tex]