Двустенен ъгъл

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете с тази задача?
Двустенният ъгъл между съседните околни стени в правилна четириъгълна пирамида е 120 градуса и лицето на сечението, минаващо през диагонал на основата, перпендикулярно на околен ръб, е 6[tex]\sqrt{3}[/tex] [tex]см^{2 }[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата.

[S.B.]

Здравейте, може ли да помогнете с тази задача?
Двустенният ъгъл между съседните околни стени в правилна четириъгълна пирамида е 120 градуса и лицето на сечението, минаващо през диагонал на основата, перпендикулярно на околен ръб, е 6[tex]\sqrt{3}[/tex] [tex]см^{2 }[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата.

Без заглавие - 2024-03-13T210105.981.png (285.15 KiB) Прегледано 1618 пъти

Нека основният ръб на пирамидата е $a$ , а височината $HM = h$
Построявам:[tex]BP \bot CM , DP \bot CM[/tex]
[tex]\triangle DBP[/tex] е търсеното сечение, защото $DB$ е диагонал на основата, [tex]CM \bot[/tex] на пресичащите се прави $BP$ и $DP$
[tex]\Rightarrow CM \bot (BDP) , \angle BPD = 120 ^\circ[/tex] е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между стените [tex](BCM) ,(DCM)[/tex]
[tex]\triangle S_{BDP } = \frac{BD.HP}{2} = 6 \sqrt{3}[/tex]
Нека $PH = p$
[tex]BD = a \sqrt{2}[/tex] (като диагонал на квадрат със страна $a$)
От правоъгълния [tex]\triangle HBP \rightarrow \frac{PH}{HB} = \cotg 60 ^\circ \Leftrightarrow \frac{p}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} } = \frac{ \sqrt{3} }{3} \Leftrightarrow p = \frac{a \sqrt{2} }{2} \frac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow p = \frac{ a\sqrt{6} }{6}[/tex]
Тогава :[tex]S_{BDP } = \frac{1}{2}.a \sqrt{2}. \frac{a \sqrt{6} }{6} = 6 \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{6} = 6 \sqrt{3} \Rightarrow a^{2 } = 36[/tex]
$$\Rightarrow a = 6$$
От правоъгълния [tex]\triangle PHB \rightarrow \frac{p}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} } = \cotg 60 ^\circ[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle PHC \rightarrow \frac{p}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} } = \sin \alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow \sin \alpha = \cotg 60 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{3}, \cos = \frac{ \sqrt{6} }{9},\cotg \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{3}[/tex]

От [tex]\triangle HMC \rightarrow \frac{HM}{HC} = \cotg \alpha \Leftrightarrow HM = HC.\cotg \alpha \Leftrightarrow h = \frac{a \sqrt{2} }{2}. \frac{ \sqrt{2} }{3}[/tex]
$$\Rightarrow h = \frac{a}{3} = 2 $$
[tex]V_{ABCDM } = \frac{ S_{ABCD }.h }{3} \Leftrightarrow V_{ABCDM } = \frac{ 6^{2 }.2 }{3}[/tex]
$$\Rightarrow V = 24 cm^{3 } $$

[S.B.]

[tex]\Rightarrow \sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{3}2 \cos = \frac{ \sqrt{6} }{9},\cotg \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{3}[/tex]

От [tex]\triangle HMC \rightarrow \frac{HM}{HC} = \cotg \alpha \Leftrightarrow HM = HC.\cotg \alpha \Leftrightarrow h = \frac{a \sqrt{2} }{2}. \frac{ \sqrt{2} }{3}[/tex]
$$\Rightarrow h = \frac{a}{3} = 2 $$
[tex]V_{ABCDM } = \frac{ S_{ABCD }.h }{3} \Leftrightarrow V_{ABCDM } = \frac{ 6^{2 }.2 }{3}[/tex]
$$\Rightarrow V = 24 cm^{3 } $$

Допуснала съм грешка при опеделянето на [tex]\cos \alpha[/tex] ,което води до грешка в отговора!

[tex]\sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{3} , \cos \alpha = \frac{ \sqrt{6} }{3} ,\cotg \alpha = \sqrt{2}[/tex]
От [tex]\triangle HMC \rightarrow \frac{HM}{HC} = \cotg \alpha \Leftrightarrow h = \frac{6 \sqrt{2} }{2}.\cotg \alpha \Leftrightarrow h = 3 \sqrt{2} \sqrt{2}[/tex]
$$\Rightarrow h = 6$$
[tex]V_{ABCDM } = \frac{ S_{ABCD },MH }{3} = \frac{ 6^{2 }.6 }{3}[/tex]
$$\Rightarrow V = 72 cm^{3 } $$
Още веднъж се извинявам!

[Гост]

Много Ви благодаря

[Гост]

Здравейте, отговорът на задачата е 36.

[S.B.]

Здравейте, отговорът на задачата е 36.

Здравейте!
Проверих много внимателно решението на задачата и не открих грешка.
Моля,посочете грешката,която съм допуснала или представете Вашето решение!

[Гост]

За а в отговорите е посочено 6 (както Вие сте написали), но за височината (h) пише, че е 3.

[Гост]

Посочили са, че:
ВР= [tex]\frac{6 \sqrt{6} }{3}[/tex]
РН = [tex]\sqrt{6}[/tex]
СН=ВН= 3[tex]\sqrt{2}[/tex]
РС= 2[tex]\sqrt{3}[/tex]
МН=3

[Гост]

Използвали са, че [tex]\triangle[/tex] МНС е подобен на [tex]\triangle[/tex] НРС
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{МН}{РН}[/tex] = [tex]\frac{НС}{РС}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] МН = [tex]\frac{РН.НС}{РС}[/tex] = 3

[Гост]

Успях и аз да я реша. За tg[tex]\alpha[/tex] получавам [tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex] и съответно височината е 3.

[S.B.]

[tex]\sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{3} , \cos \alpha = \frac{ \sqrt{6} }{3} ,\cotg \alpha = \sqrt{2}[/tex]
От [tex]\triangle HMC \rightarrow \frac{HM}{HC} = \cotg \alpha \Leftrightarrow h = \frac{6 \sqrt{2} }{2}.\cotg \alpha \Leftrightarrow h = 3 \sqrt{2} \sqrt{2}[/tex]

Да ,допуснала съм грешка!

От [tex]\triangle HMC \rightarrow \frac{HM}{HC} = \tg \alpha[/tex], а не както съм приела [tex]\frac{HM}{HC} = \cotg \alpha[/tex]
Тъй като [tex]\tg \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex], а [tex]\cotg \alpha = \sqrt{2}[/tex] се получава разминаване в дължината на височината $MH$ ,а следователно и в отговора.
Извинявам се!

Скрит текст: покажи

Всъщност добре е да преглеждате цялото решение,а не само отговора.Щяхте да откриете веднага грешката!

[Гост]

Няма за какво да се извинявате. Благодаря Ви отново и спокоен ден.