Конус

[Гост]

В прав кръгов конус, осното сечение на който е равностранен триъгълник, е вписана сфера с радиус r. На колко е равно лицето на околната повърхнина на конуса?

[S.B.]

В прав кръгов конус, осното сечение на който е равностранен триъгълник, е вписана сфера с радиус r. На колко е равно лицето на околната повърхнина на конуса?

Без заглавие - 2024-04-01T204200.078.png (195.77 KiB) Прегледано 1231 пъти

Сечението на конуса е [tex]\triangle ABC[/tex]- равностранен, т.$O$ е център на вписаната сфера,която в сечението се изобразява като вписана окръжност, т.$T$ е допирната точка на окръжността с основата, $OB$ е ъглополовяща на [tex]\angle ABC[/tex]
[tex]\triangle TBO[/tex] е правоъгълен ,[tex]\angle TBO = 30 ^\circ[/tex] (Защо?)
[tex]OT = r \Rightarrow OB = 2r, TB = r \sqrt{2}[/tex]

[tex]\begin{cases} R = TB \\ TB = r \sqrt{2} \end{cases} \Rightarrow R = r \sqrt{2}[/tex]
[tex]l = BC = 2TB \Rightarrow l = 2r \sqrt{2}[/tex]

[tex]S_{ок } = \pi RL \Leftrightarrow S_{ок }= \pi .r \sqrt{2} .2r \sqrt{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ок } = 6 \pi r^{2 } $$