Тристенен ъгъл

[Гост]

20240518_110111.jpg (461.9 KiB) Прегледано 367 пъти

[ammornil]

Screenshot 2024-05-18 161157.png (16.41 KiB) Прегледано 358 пъти

$$ $$Нека даденият в началото ъгъл има връх [tex]A[/tex]. Върху раменете на ъгъла вземаме три равни отсечки [tex]AB=AC=AD=6[/tex]. Триъгълниците съдържащи всеки две такива отсечки са равнобедрени,но понеже равнинните ъгли (а не линейните на двустенните) са по [tex]60^{\circ}[/tex], значи тези триъгълници са равностранни. [tex]ABCD[/tex] е идеален тетраедър, всички ръбове са равни помежду си. Ще намерим разстоянието от върха D до срещулежащата страна. [tex]M \in{BC}, BM=CM \\ \triangle{BCA}: \quad AB=BC=AC=6 \Rightarrow AM=\frac{AC\cdot{\sqrt{3}}}{2}=3\sqrt{3} \\ \triangle{BCD}: \quad DB=BC=DC=6 \Rightarrow DM=\frac{DC\cdot{\sqrt{3}}}{2}=3\sqrt{3} \\ DD_{1}\bot{AM} \text{ е търсеното разстояние от точка } D \text{ до равнинанта } ABC \\ \triangle{ADM}: \quad p_{ADM}=\frac{AM+MD+DA}{2}=3+3\sqrt{3} \\ \quad S_{ADM}=\sqrt{p\cdot{}(p-AM)\cdot{}(p-DM)\cdot{}(p-AD)}=\sqrt{(3+3\sqrt{3})\cdot{}3\cdot{3}\cdot(3\sqrt{3}-3)}=3\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}-3^{3}}=3\sqrt{18}=9\sqrt{2} \\ \quad S_{ADM}=\frac{1}{2}\cdot{}AM\cdot{DD_{1}} \Leftrightarrow DD_{1}=\frac{2\cdot{}S_{ADM}}{AM}=\frac{2\cdot{9}\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\cdot{}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/tex]$$ DD_{1}=2\sqrt{6} $$

Забележете, че петата на перпендикуляра от [tex]D[/tex] към [tex]p(ABC)[/tex] винаги ще лежи на [tex]AM[/tex], защото е края на перпендикулярните проекции в тази равнина на наклонените [tex]AD[/tex] и [tex]DM[/tex], а през [tex]D[/tex] минава само една права, перпендикулярна на [tex]p(ABC)[/tex].