Задача от стереометрия

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете със следната задача:

Правоъгълен триъгълник с катети a = 3 cm, b = 4 cm е завъртян около хипотенузата. Да се намерят обемът и повърхнината на полученото тяло.
Опитвам се да си представя как би изглеждал чертежът, но не се получава.

[peyo]

Здравейте, може ли да помогнете със следната задача:

Правоъгълен триъгълник с катети a = 3 cm, b = 4 cm е завъртян около хипотенузата. Да се намерят обемът и повърхнината на полученото тяло.
Опитвам се да си представя как би изглеждал чертежът, но не се получава.

Триъгълника го рисуваме в Geogebra Classic и искаме да ни изчисли височината и разстоянията до нея. Geogebra е много добра в това отношение.

Screenshot 2024-06-20 113932.jpg (23.25 KiB) Прегледано 281 пъти

И сега виждаме, че търсим обема на 2 конуса с обща основа с радиус 2.4.

[tex]V = \frac{\pi r^2 h}{3}= V_1 + V_2 = \frac{\pi 2.4^2 3.2}{3} + \frac{\pi 2.4^2 1.8}{3} = \frac{\pi 2.4^2 }{3} (3.2+1.8) = \frac{5 \pi 2.4^2 }{3} = 9.6\pi[/tex]

[S.B.]

Здравейте, може ли да помогнете със следната задача:

Правоъгълен триъгълник с катети a = 3 cm, b = 4 cm е завъртян около хипотенузата. Да се намерят обемът и повърхнината на полученото тяло.
Опитвам се да си представя как би изглеждал чертежът, но не се получава.

Без заглавие - 2024-06-20T215932.562.png (217.71 KiB) Прегледано 265 пъти

Друг поглед върху задачата
Получава се ротационно тяло, съставено от 2 конуса с обща основа, на които сбора от височините е равен на хиптенузата $AB$ на [tex]\triangle ABC[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам $AB = 5$
[tex]CO \bot AB[/tex] е височина в [tex]\triangle ABC[/tex]. Тъй като [tex]\triangle ABC[/tex] се върти около хипотенузата $AB$ , то $OC$ описва кръг с център $O$ и радиус $r = CO$
[tex]\begin{cases} S_{ABC } = \displaystyle\frac{AC.BC}{2} \\ S_{ABC } = \displaystyle\frac{AB.CO}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} S_{ABC } = \displaystyle\frac{3.4}{2} = 6\\ S_{ABC } = \displaystyle\frac{5.OC}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{5.OC}{2} = 6 \Rightarrow OC = \displaystyle\frac{12}{5}[/tex]
$$\Rightarrow r= OC = \frac{12}{5} $$

[tex]V_{ACB C_{1 } } = V_{AC C_{1 } } + V_{BC x_{1 } } = \frac{ \pi. r^{2 }. h_{1 } }{3} + \frac{ \pi r^{2 } h_{2 } }{3} = \frac{ \pi r^{2 } }{3}( h_{1 }+ h_{2 }) = \frac{ \pi }{3}. \frac{144}{25}.5[/tex]
$$V_{ACB C_{1 } } = \frac{48}{5} \pi = 9,6\pi $$