Правилна четириъгълна пирамида

[Yasemin]

Височината на правилна четириъгълна пирамида е һ и големината на ъгъла между два съседни околни ръба е [tex]\alpha[/tex]. Да се намерят околната повърхнина и обемът на пирамидата. (Получените изрази да се приведат във вид на произведение.)

[S.B.]

Височината на правилна четириъгълна пирамида е һ и големината на ъгъла между два съседни околни ръба е [tex]\alpha[/tex]. Да се намерят околната повърхнина и обемът на пирамидата. (Получените изрази да се приведат във вид на произведение.)

Без заглавие - 2024-07-01T122353.776.png (260.3 KiB) Прегледано 269 пъти

Правилна четириъгълна пирамида $MABCD$, $ABCD$ е квадрат, [tex]AC \cap BD = H , MH \bot (ABCD), MH = h[/tex]
Нека $AB = BC = CD = CA = a$ , $MA = MB = MC = MD = l$
За обема :
[tex]V_{MABCD } = \frac{ S_{ABCD }.MH }{3} \Leftrightarrow V = \frac{ a^{2 }h }{3} \Rightarrow[/tex] трябва да се изрази [tex]a^{2 }[/tex] чрез $h$ и [tex]\angle \alpha[/tex]

За околната повърхнина: [tex]S_{ок. } = 4 . S_{BCM } \Leftrightarrow S_{ок. } = 4. \frac{ l^{2 } .\sin \alpha }{2} \Leftrightarrow S_{ок } = 2 l^{2 } \sin \alpha \Rightarrow[/tex] трябва да се изрази [tex]l^{2 }[/tex] чрез $h$ и [tex]\angle \alpha[/tex]
[tex]MK \bot BC , K \in MC[/tex]
От [tex]\triangle BKM \rightarrow \displaystyle\frac{ \frac{a}{2} }{l} = \sin \frac{ \displaystyle\alpha }{2} \Leftrightarrow a = 2l\sin \frac{ \displaystyle\alpha }{2} \Rightarrow a^{2 } = 4 l^{2 } \sin^{2 } \frac{ \alpha }{2}[/tex]

За [tex]\triangle HBM[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]BM^{2 } - BH^{2 } = MH^{2 } \Leftrightarrow l^{2 } - ( \frac{a \sqrt{2} }{2}) ^{2 } = h^{2 } \Leftrightarrow l^{2 } - \frac{2 a^{2 } }{4} = h^{2 } \Leftrightarrow 2 l^{2 } - a^{2 } = h^{2 }[/tex]

[tex]2l^{2 } - a^{2 } = h^{2 } \Leftrightarrow 2 l^{2 } - 4 l^{2 } \sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} = 2 h^{2 } \Leftrightarrow l^{2 }(1 - 2 \sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} ) = h^{2 } \Leftrightarrow l^{2 }[1 -(1 - \cos \alpha )] = h^{2 } \Leftrightarrow l^{2 } = \frac{ h^{2 } }{\cos \alpha }[/tex]
[tex]\begin{cases} a^{2 } = 4 l^{2 } \sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} \\ l^{2 } = \displaystyle\frac{ h^{2 } }{\cos \alpha } \end{cases} \Rightarrow a^{2 } = \displaystyle\frac{4 h^{2 } \sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{\cos \alpha }[/tex]

[tex]V = \frac{ a^{2 } h}{3} \Leftrightarrow V = \frac{4 h^{3 } \sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{3\cos \alpha }[/tex]

[tex]S_{ок. } = 2l^{2 }\sin \alpha \Leftrightarrow S_{ок } = \frac{2 h^{2 }\sin \alpha }{\cos \alpha } \Leftrightarrow S_{ок } = 2 h^{2 }\tg \alpha[/tex]

Скрит текст: покажи

Дано няма грешки в сметките!