Пирамида с основа ромб - 11 клас, профил

[visk1]

Основата на пирамида ABCDM е ромбът ABCD. Околният ръб BM е перпендикулярен на равнината на основата. Страната и диагоналът DB на ромба са равни на 4, а разстоянието от върха B до околната стена е равно на [tex]\sqrt{3}[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата.
Не ми се получава задачата... Най-вероятно не правя разстоянието от върха B до околната стена правилно.

[S.B.]

Основата на пирамида ABCDM е ромбът ABCD. Околният ръб BM е перпендикулярен на равнината на основата. Страната и диагоналът DB на ромба са равни на 4, а разстоянието от върха B до околната стена е равно на [tex]\sqrt{3}[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата.
Не ми се получава задачата... Най-вероятно не правя разстоянието от върха B до околната стена правилно.

Без заглавие - 2024-08-27T110518.582.png (290.05 KiB) Прегледано 302 пъти

Пирамидата $MABCD$ се състои от две еднакви триъгълни пирамиди - $MABD$ и $MCBD$ обемът на всяка от които е равен на [tex]\frac{1}{2} V_{MABCD }[/tex]
Нека $BM = h>0$ тогава за околните ръбове получаваме :[tex]AM = CM = DM = \sqrt{ h^{2 } + 4^{2 } }[/tex] (ЗАЩО?)
Ще разгледам пирамидата $MABD$:
[tex]V_{MABD } = \frac{BM}{3} . S_{ABD } \Leftrightarrow V_{MABD } = \frac{h}{3}. \frac{ 4^{2 } \sqrt{3} }{4}[/tex]
$$\Rightarrow V_{MABD } = \frac{h.4 \sqrt{3} }{3} $$

В условието се казва,че разстоянието от т.$B$ до околна стена е [tex]\sqrt{3}[/tex]
т.е . височината [tex]h_{1 }[/tex] на пирамидата $MABD$ към стената $ADM$ е [tex]\sqrt{3}[/tex]
Тогава [tex]V_{MABD } = \frac{ h_{1 } }{3}. S_{ADM }[/tex]
[tex]\triangle ADM[/tex] е равнобедрен.[tex]MN \bot AD \Rightarrow MN^{2 } = AM^{2 } - AN^{2 } \Leftrightarrow MN^{2 } = h^{2 }+ 16 - 4 \Rightarrow MN = \sqrt{ h^{2 }+ 12 }[/tex]
[tex]S_{ADM } = \frac{4 \sqrt{ h^{2 } + 12} }{2} \Leftrightarrow S_{ADM } = 2 \sqrt{ h^{2 }+ 12 }[/tex]
$$\Rightarrow V_{MABD } = \frac{ \sqrt{3} }{3}.2 \sqrt{ h^{2 } + 12 } $$

[tex]\begin{cases} V_{MABD } = \displaystyle\frac{h.4 \sqrt{3} }{3} \\ V_{MABD } = 2 \sqrt{ h^{2 } + 12}.\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{3} \end{cases} \Rightarrow \displaystyle \frac{h.4 \sqrt{3} }{3} = 2 \sqrt{ h^{2 } + 12}\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{3} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2h = \sqrt{ h^{2 } + 12 } \Leftrightarrow 4 h^{2 } = h^{2 } + 12 \Leftrightarrow 3 h^{2 } = 12 \Rightarrow h^{2 } = 4 \Rightarrow h = \pm 2[/tex]
[tex]h > 0 \Rightarrow h = 2[/tex]
[tex]V_{MABD } = \frac{4h \sqrt{3} }{3} \Leftrightarrow V_{MABD } = \frac{8 \sqrt{3} }{3}[/tex]
Както казахме в началото [tex]V_{MABD } = \frac{1}{2} V_{MABCD }[/tex]
$$\Rightarrow V_{MABCD } = \frac{16 \sqrt{3} }{3} $$

[visk1]

Благодаря за решението