Тетраедър - формула за обем

[Yasemin]

Даден е тетраедър АВСD, за който AD = a, BC = b, [tex]\angle[/tex](AB, CD) = [tex]\varphi[/tex] и разстоянието между AD и BC е d. Докажете, че за обема на тетраедъра е изпълнено [tex]V = \frac{1}{6} abd sin \varphi[/tex]

[Гост]

Може ли да потвърдите, че φ е ъгълът между правите AB и CD, а не между правите AD и BC.

Ако φ е ъгълът между правите AD и BC се получава търсения в условието по-горе резултат.

[ptj]

Всичко, което се иска да докажеш е, че:

равнината съдържаща [tex]а[/tex] и [tex]d[/tex] сключва ъгъл [tex]\varphi[/tex] с [tex]b[/tex]. (Използвай теорема за трите перпендикуляра.)

След това разбий изходната пирамида на две други с обща основа, яваваща се сечение на спомената равнина с изходната пирамида.

П.П. Може да разгледаш само по-лесния случай, когато краищата на ос-отсечката [tex]d[/tex] са въретрешни точки за [tex]a[/tex] и [tex]d[/tex].

[Yasemin]

А това как трябва да го докажа?

[ptj]

Без загуба на общност може да приемем [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] за прави, съдърщаши съответните ръбове от условието, защото това запазва ъгъла между тях.

Нека ос-отсечката е [tex]NM[/tex], като [tex]N \in a[/tex] и [tex]M \in b[/tex]

Построй [tex]a'\parallel a[/tex], като [tex]M \in a'[/tex].

Нека [tex]\alpha[/tex] е равнина съдържаща [tex]a[/tex] и ос-отсечката [tex]MN[/tex]. От [tex]a' \parallel a[/tex] и от факта, че т. [tex]M\in \alpha[/tex] и т.[tex]М \in a'[/tex], следва че [tex]a' \in \alpha[/tex].

[tex]\angle(a,b)=\angle(a',b)[/tex] (определение за ъгъл между кръстосани прави).

Нека [tex]\beta[/tex] е равнина определена от [tex]a'[/tex] и [tex]b[/tex]. Очевидно [tex]NM \bot \beta[/tex]
(права перпендикулярна на две прави от равнина е перпендикулярна на самата равнина) .

От последното може да заключим, че ортогоналната проекция на [tex]b[/tex] в [tex]\alpha[/tex] лежи в [tex]\beta[/tex] (защо). Т.е. спомената ортогонална проекция лежи и в двете равнини. От друга страна тяхното сечение е единствено, a именно правата [tex]a'[/tex].

П.П.
[tex]b.sin( \varphi)[/tex] e точно сумата на височините към [tex]\alpha[/tex] в споменатите по-рано пирамиди с обща основа.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Извинявам се, че не изполвах терема за трите перпендикуляра в доказателството, както препоръчах по-рано.

Горе може да се промени часта доказваща, че [tex]a'[/tex] се явява ортогонална проекция на [tex]b[/tex] в [tex]\alpha[/tex] по следния начин:

От теорема за трите перпендикуляра следва, че ортогоналната проекция на [tex]b[/tex] в [tex]\alpha[/tex] също ще е перпендикулярна на [tex]NM[/tex] (заради [tex]b \bot NM[/tex]).

Щом горната ортогонална проекция е перпендикулярна на [tex]NM[/tex], то тя ще е успоредна на [tex]a[/tex] (естествено всички лежат в [tex]\alpha[/tex]).

От 5-тата аксиома на Евклидовата геометрия, следва че [tex]a'[/tex] е единствента права през т.[tex]M[/tex], която е успоредна на [tex]a[/tex].

[Гост]

Нищо не се разбира.Защо не го начертаете?

[ptj]

Защото не обичам да обяснявам на хора с нулеви знания.

[S.B.]

Даден е тетраедър АВСD, за който AD = a, BC = b, [tex]\angle[/tex](AB, CD) = [tex]\varphi[/tex] и разстоянието между AD и BC е d. Докажете, че за обема на тетраедъра е изпълнено [tex]V = \frac{1}{6} abd sin \varphi[/tex]

Без заглавие - 2024-09-15T221349.965.png (307.3 KiB) Прегледано 948 пъти

Преди всичко искам да нанеса една корекция в така зададеното условие.Формулата за обем на тетраедър при дадено разстояние между два кръстосани ръба е известна,но тя важи когато е даден ъгълът между кръстосаните ръбове, за които е дадено разстоянието.В случая[tex]\angle (AD,BC) = \angle (a,b) = \varphi[/tex] , а не както е зададено [tex]\angle (AB,CD) = \varphi[/tex]

Построявам права [tex]p : \begin{cases} pZD \\ p || BC \end{cases}[/tex] , т. [tex]B_{1 } \begin{cases} \in p\\ D B_{1 } = b \end{cases}[/tex]
Правите $AD$ и $p$ се пресичат в т.$D$ и определят равнината [tex](AD B_{1 })[/tex]
[tex]\angle AD B_{1 } = \varphi[/tex] (по правилото за определяне на ъгъла между две кръстосани прави)

Построявам права [tex]q : \begin{cases} qZD \\ q||MN \end{cases}[/tex] , т. [tex]D_{1 } \in q , D D_{1 } = d[/tex]
Според условието $MN = d$ е разстоянието между кръстосаните ръбове $AD$ и $BC$ [tex]\Rightarrow MN \bot AD , MN \bot BC[/tex]
[tex]D D_{1 } || MN \Rightarrow D D_{1 } \bot AD , D D_{1 } \bot BC[/tex] , но [tex]D B_{1 } || BC \Rightarrow D D_{1 } \bot D B_{1 }[/tex]
[tex]\begin{cases} DD_{1 } \bot AD\\ D D_{1 } \bot D B_{1 } \end{cases} \Rightarrow D D_{1 } \bot (AD B_{1 })[/tex]
За получения тетраедър [tex]AD B_{1 } D_{1 }[/tex] имаме [tex]D B_{1 } = b , AD = a , \angle (a,b) = \varphi ,D D_{1 }= d[/tex]

[tex]V_{AD B_{1 } D_{1 } } = \frac{1}{3}. S_{AD B_{1 } }.D D_{1 } \Leftrightarrow V = \frac{1}{3} \frac{ab\sin \varphi }{2}.d \Rightarrow V = \frac{1}{6}.abd\sin \varphi[/tex]

[Гост]

Защото не обичам да обяснявам на хора с нулеви знания.

Не, правилният отговор е: "Защото не мога да чертая".

[ptj]

Не искам да си губя времето, за да давам всичко "наготово". Правенето на чертеж, от четящия мнението, изисква поне минимално вникване в задачата...
Мързеливците, търсещи само от кого да препишат, могат да прескачат написаното от мен.

[ammornil]

Не, правилният отговор е: "Защото не мога да чертая".

Едно благодаря на S.B. и никакъв коментар към ptj щяха да Ви представят в по-добра светлина. Сега изглеждате така, сякаш не бихте разпознали верен отговор дори да беше единственият възможен.

[Гост]

Даден е тетраедър АВСD, за който AD = a, BC = b, [tex]\angle[/tex](AB, CD) = [tex]\varphi[/tex] и разстоянието между AD и BC е d. Докажете, че за обема на тетраедъра е изпълнено [tex]V = \frac{1}{6} abd sin \varphi[/tex]

Без заглавие - 2024-09-15T221349.965.png

Преди всичко искам да нанеса една корекция в така зададеното условие.Формулата за обем на тетраедър при дадено разстояние между два кръстосани ръба е известна,но тя важи когато е даден ъгълът между кръстосаните ръбове, за които е дадено разстоянието.В случая[tex]\angle (AD,BC) = \angle (a,b) = \varphi[/tex] , а не както е зададено [tex]\angle (AB,CD) = \varphi[/tex]

Построявам права [tex]p : \begin{cases} pZD \\ p || BC \end{cases}[/tex] , т. [tex]B_{1 } \begin{cases} \in p\\ D B_{1 } = b \end{cases}[/tex]
Правите $AD$ и $p$ се пресичат в т.$D$ и определят равнината [tex](AD B_{1 })[/tex]
[tex]\angle AD B_{1 } = \varphi[/tex] (по правилото за определяне на ъгъла между две кръстосани прави)

Построявам права [tex]q : \begin{cases} qZD \\ q||MN \end{cases}[/tex] , т. [tex]D_{1 } \in q , D D_{1 } = d[/tex]
Според условието $MN = d$ е разстоянието между кръстосаните ръбове $AD$ и $BC$ [tex]\Rightarrow MN \bot AD , MN \bot BC[/tex]
[tex]D D_{1 } || MN \Rightarrow D D_{1 } \bot AD , D D_{1 } \bot BC[/tex] , но [tex]D B_{1 } || BC \Rightarrow D D_{1 } \bot D B_{1 }[/tex]
[tex]\begin{cases} DD_{1 } \bot AD\\ D D_{1 } \bot D B_{1 } \end{cases} \Rightarrow D D_{1 } \bot (AD B_{1 })[/tex]
За получения тетраедър [tex]AD B_{1 } D_{1 }[/tex] имаме [tex]D B_{1 } = b , AD = a , \angle (a,b) = \varphi ,D D_{1 }= d[/tex]

[tex]V_{AD B_{1 } D_{1 } } = \frac{1}{3}. S_{AD B_{1 } }.D D_{1 } \Leftrightarrow V = \frac{1}{3} \frac{ab\sin \varphi }{2}.d \Rightarrow V = \frac{1}{6}.abd\sin \varphi[/tex]

Според мен има лека некоректност в това решение, но съм отворен към поправки и допълнения. При построяването на новия тетраедър ние намираме неговия обем, но ние откъде сме сигурни, че двата обема с равни? Построеният тетраедър не е еднакъв с този, даден в условието на задачата. Съществуват безброй много тетраедъри с зададените в условието данни.

[ptj]

Имам една сериозна забележка към [tex]S.B.[/tex]:

Вие не сте доказали [tex]V_{ADB_1D_1}=V_{ABCD}[/tex].

Без него вашите построения са "много шум за нищо".
Поне на пръв поглед единствения ви шанс да се поправите (с теория изучавана в училищата) е да направите чертеж към някое от моите 2 доказателства.

[ptj]

Не, правилният отговор е: "Защото не мога да чертая".

Едно благодаря на S.B. и никакъв коментар към ptj щяха да Ви представят в по-добра светлина. Сега изглеждате така, сякаш не бихте разпознали верен отговор дори да беше единственият възможен.

Напротив, държа на мнението си, докато вие аплодирате грешно решение.

П.П. Ако не сте забялязали първо дадох насока, какво да се докаже. За един добър ученик,имаш пространствено въображение и достатъчно техника в решаването на стеометрични задачи, това би било достатъчно. След това ме помолиха, да обясня как точно да стане това и аз в отговор дадох два различни начина на решение.

Какъв беше отговора ? - "Нищо не се разбира". Не може ли да направите чертеж?

Превено на български последното означава: " Защо не ми напишите пълното решение (заедно с чертеж) за да мога да го препиша дословно."

[Yasemin]

Прегледах решението на [tex]ptj[/tex], но стигнах до някъде но после блокирах, опитах да направя чертеж, но някои места не ми се получаваха и оставих задачата. Ще прегледам чертежа и ще опитам отново. (Дано този път да я разбера, че в следващата задача се ползва същата формула)

[S.B.]

Прегледах решението на [tex]ptj[/tex], но стигнах до някъде но после блокирах, опитах да направя чертеж, но някои места не ми се получаваха и оставих задачата. Ще прегледам чертежа и ще опитам отново. (Дано този път да я разбера, че в следващата задача се ползва същата формула)

Не се тревожи напразно,защото когато се опитах да разбера какво иска да ни каже ptj ,аз също блокирах! Ако моят чертеж е "много шум за нищо" , то обясненията на уважаемият ми колега ptj без чертеж са "въздух под налягане"!
Тази формула е утвърдена и Вие можете да използвате за решение на задачите спокойно!
Формулата се намира на стр.137 в "Математически справочник" с автор Боряна Дачева Милкоева, одобрен за учебно помагало от МОН с протокол N 9 , 12.06.1998 г.Там е написано:

ОБЕМ НА ПРОИЗВОЛЕН ТЕТРАЕДЕР:
[tex]V = \frac{1}{6}l.b.h.\sin \varphi[/tex]
където $l,b$ са дължините на два кръстосани ръба , $h$ е разстоянието между $l$ и $b$, [tex]\angle \varphi = \angle (l,b)[/tex]
Във вашият случай $l = a , h = d$ и формулата за обема е : [tex]V = \frac{1}{6}a.b.d \sin \varphi[/tex]

Без заглавие - 2024-09-15T221349.965.png (307.3 KiB) Прегледано 872 пъти

В моето решение аз съм показала защо е така ,като съм трансформирала по съвсем законен според стереометрията начин $ABCD$ в [tex]B_{1 }AD D_{1 }[/tex] така че са се запазили не само дължините на елементите ,но и връзките по между им:
Това ми дава основание да твърдя,че полученият тетраедър е равнообемен с дадения.
Същите построения предлага да се извършват и ptj, само че за изходна точка използва пресечната точка на основния ръб с трансферзалата, която не се знае точно къде се намира,а аз използвам върха $D$ на тетраедъра.
През върха $D$ съм построила [tex]B_{1 }D || BD, B_{1 }D = BD = b[/tex]
С това построение кръстосаните прави $a$ и $b$ попадат в една и съща равнина и тогава освен,че правите определят една равнина [tex](B_{1 }AD)[/tex]се вижда и [tex]\angle (a,b) = \varphi[/tex]
Разстоянието между $a$ и $b$ е $MN = d$ - това означава,че [tex]\begin{cases} MN \bot a\\ MN \bot b\\MN = d\end{cases}[/tex]
В новия тетраедър [tex]\begin{cases} D D_{1 }||MN \\ D D_{1 } = d\end{cases} \Rightarrow D D_{1 } \bot (A B_{1 }D)[/tex] защото е перпендикулярен на двете пресичащи се прави,които определят тази равнина.
Когато се приложи класическата формула за обема за [tex]B_{1 }AD D_{1 }[/tex] и се заместят елементите с означенията от условието се получава именно формулата.

Скрит текст: покажи

Колега ptj, аз не се наемам да правя чертеж по Вашите разсъждения.Освен това нямам вина нито за това,че Вие,както е извесно на всички не правите чертежи към задачите си,нито за това,че аз и много други колеги умеем да чертаем.Съвсем неоснователно и твърде злобно ме нападате!Впрочем на Вас винаги Ви е липсвало елементарното възпитание .Бъдете здрав!

[ptj]

S.B.,
Съзнаваш ли въобще каквa глупост си написала?
Построила си нов тетраедър с обем равен на формулата от задачата. Той обаче има различни основи и височини от оригиналния в условието. Как ще докажеш, че обема му е същия?
Тук не говорим за самата формула за обем, която е ясно че е вярна, а за нейното доказателство.
----------------------------------------------------------------------------------------------

Колкото до моето решение- не виждам защо блокирате:

Наистина има малка неточност в условието, защото ъгъла [tex]\varphi[/tex] трябва да е ъгъла между кръстосаните ръбове. Аз съм оставил същите означения за кръстосаните ръбове като в условието [tex](AB,CD)[/tex].

Равнината [tex]\alpha[/tex] (минаваща през AB и перпендикулярна на CD) образува триъгълно сечение [tex]ABM[/tex] с тетраедъра с лице равно на [tex]S_{ \triangle ABM}= \frac{1}{2} AB.NM= \frac{1}{2} a.d[/tex].

Ясно е, че [tex]V_{ABCD}=V_{ABMD}+V_{ABMC}[/tex].

Нека спуснем двете височини от върховете [tex]C[/tex] и [tex]D[/tex] към [tex]ABM[/tex] и ги означим съответно с [tex]h_1[/tex] и [tex]h_2[/tex].

[tex]h_1+h_2=b.sin( \varphi )[/tex], защото ръба CD сключва ъгъл [tex]\varphi[/tex] с равнината [tex]ABM[/tex] (,което вече е доказано).

Тогава използвайки класическата формула за обем на пирамида (1/3 лице на основа умножено по височина) намираме [tex]V_{ABCD}= \frac{1}{6}a.b.d.sin( \varphi)[/tex].

П.П. Колкото до забележката за ос-отсечката - по рано споменах, че ще разгледам по-лесния случай, когато [tex]N \in AB[/tex] и [tex]М \in CD[/tex] (за да ви е по-лесно да разберете решението)...

[ptj]

....

[ptj]

K.JPG (1.52 MiB) Прегледано 840 пъти

[Гост]

Обем на тетраедър-page-001.jpg (263.18 KiB) Прегледано 812 пъти

[ptj]

Прекрасна идея. Браво!

Иначе самото обяснение можеша и да е по- кратко. :

Например, чрез използване на вектори [tex]A[/tex] e симетрична на [tex]N[/tex] спрямо медицентъра [tex]G_1[/tex] на [tex]\triangle BCD[/tex].

Като използваме, че [tex]\vec {AG}= \frac{1}{3} (\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD})[/tex].

Задаваме т.[tex]M[/tex] чрез [tex]\vec {AG}=-\vec {MG}[/tex] и веднага намираме успоредността на съответните ръбовете.

Останалата част аналогично.