Правоъгълен триъгълник ...

[MMia]

Здравейте, може ли помощ за тази задача?

Даден е правоъгълен триъгълник АВС с дължини на катетите ВC = 4 cm, AC = 3 см. Върху катета ВС е взета точка М така, че СМ = х. През т. М е построена права, успоредна на АС, която пресича АВ в точка N. През N е построена права, успоредна на ВС, която пресича АС в точка Р.
а) Да се изрази лицето на четириъгълника СMNP като функция на х.
б) Да се намери за коя стойност на х лицето на СМNР е най-голямо и да се пресметне тази най-голяма стойност.

[Гост]

Kakva stereometria??????????

[Евва]

Какъв е четириъг. CMNP ?
MN||AC [tex]\Rightarrow[/tex] сборът на вътрешноприлежащите ъгли е 180[tex]^\circ[/tex] т.е.
[tex]\angle[/tex]ACB+[tex]\angle[/tex]NMC=180[tex]^\circ[/tex]
90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\angle[/tex]NMC=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]NMC=90[tex]^\circ[/tex]

По същия начин ( ползвайки ,че NP||BC ) доказваме ,че [tex]\angle[/tex]CPN=90[tex]^\circ[/tex]
В четириъг. последният [tex]\angle[/tex]PNM също е 90[tex]^\circ[/tex]
CMNP е правоъгълник

Тогава PN=CM=x (1)
[tex]\triangle[/tex]ANP[tex]\approx \triangle[/tex]ABC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{NP}{BC} =\frac{AP}{AC}[/tex]

[tex]\frac{x}{4}= \frac{AP}{3}[/tex] ; AP=[tex]\frac{3x}{4}[/tex] (2)

PC=AC-AP =3-[tex]\frac{3x}{4} ; PC=\frac{12-3x}{4}[/tex] (3)

a) [tex]S_{CMNP }[/tex]= PN.PC =x.[tex]\frac{12-3x}{4}[/tex] ; [tex]S_{CMNP }= \frac{3}{4}(4x- x^{2 })[/tex] (4)

б) [tex]S_{max }[/tex]= ?
Трябва S ' =0
[ [tex]\frac{3}{4} (4x- x^{2 }) ][/tex] ' =0
(4x-[tex]x^{2 } )[/tex] ' =0 ;4-2x=0 ; x=2
При x=2 се достига максимално лице ,което е S=[tex]\frac{3}{4} (4.2- 2^{2 })= \frac{3}{4}.4 = 3[/tex]

[ptj]

Само да добавя:

Втората производна при [tex]x=2[/tex] е отрицателна, а това ни дава наличието на локален максимум.

Теоремата за връзка между диференцируемост и непрекъснатост ни дава информация, че разглежданата функция е непрекъсната при [tex]x \in (0;4)[/tex], т.е. намерения максимум е абсолютен.

[Гост]

Благодаря Ви!