Описана сфера

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете с тази задача:

1. Дадена е правилна -ъгълна пирамида с основен ръб 12 см, околен ръб 6[tex]\sqrt{3}[/tex] и радиус на описаната сфера 9. Намерете n.

[Гост]

Колко ъгълна?

[Гост]

n-ъгълна

[ammornil]

$a=12[cm], \quad l=6\sqrt{3}[cm], \quad R=R_{\text{оп.сф.}}=9[cm]\\[12pt] H=R+x \\[12pt] y = r_{\text{оп.осн.}}=\dfrac{a}{2\sin{\dfrac{\pi}{n}}} \quad \text{ важи само за равностранен вписан изпъкнал n-ъгълник}. \\[12pt] \begin{array}{|l} H^{2}+y^{2}=l^{2} \\ x^{2}+y^{2}=R^{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (R+x)^{2}+y^{2}=l^{2} \\ y^{2}=R^{2}-x^{2} \end{array} \\[12pt] 9^{2}+2\cdot{}9\cdot{}x+x^{2}+9^{2}-x^{2}=(6\sqrt{3})^{2} \\[12pt] 18x=108-162 \\[12pt] x=-3\\[12pt]$ Това означава, че центърът на описаната сфера лежи извън пирамидата.$ \\[12pt] y^{2}=R^{2}-x^{2}=81-9=72 \\[6pt] y=6\sqrt{2}=\dfrac{12}{2\cdot{}\sin{\dfrac{\pi}{n}}} \\[6pt] \sin{\dfrac{\pi}{n}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \begin{cases} \dfrac{\pi}{n}=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow n=4 \in{} N \\[12pt] \dfrac{\pi}{n}=\dfrac{3\pi}{4} \Rightarrow n=\dfrac{4}{3} \notin{} N \end{cases} $ $$ \boxed{ \quad{} n=4 \quad{} }$$