Намерете околните ръбове на триъгълната пирамида

[ammornil]

Основите на правилна четириъгълна пирамида $ABCDM$ и триъгълна пирамида $ADFM$ с основа равностранен триъгълник лежат в една равнина и пирамидите имат обща околна стена $ADM$. Околните ръбове на четириъгълната пирамида сключват с основата ѝ ъгъл $\varphi$. Ако $\tg{\varphi}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$, a разликата между обемите на четириъгълната и триъгълната пирамиди е $108(4-\sqrt{3})$, намерете дължините на околните ръбове на триъгълната пирамида.

[S.B.]

Скрит текст: покажи

Основите на правилна четириъгълна пирамида $ABCDM$ и триъгълна пирамида $ADFM$ с основа равностранен триъгълник лежат в една равнина и пирамидите имат обща околна стена $ADM$. Околните ръбове на четириъгълната пирамида сключват с основата ѝ ъгъл $\varphi$. Ако $\tg{\varphi}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$, a разликата между обемите на четириъгълната и триъгълната пирамиди е $108(4-\sqrt{3})$, намерете дължините на околните ръбове на триъгълната пирамида.

Без заглавие - 2026-08-30T154416.996.png (413.53 KiB) Прегледано 88 пъти

Нека страната на $ABCD$ е $a$.[tex]AC\cap BD = H[/tex]
Върхът на пирамидата $M$ се проектира в т.$H$ , $MH = h$ (височина на пирамидата)
$ABCDM$ и $AFDM$ имат обща стена $ADM$,[tex]\Rightarrow M[/tex] е връх и на триъгълната пирамида $AFDM$ и съответно $MH = h$ е тяхна обща височина.
[tex]\triangle ABF[/tex] е равностранен със страна $a$, т.$N$ е среда на $AD$.[tex]FN \bot AD[/tex]
$FN$ е височина в [tex]\triangle ADF[/tex]
[tex]\Rightarrow FN = \frac{a \sqrt{3} }{2} < a , \Rightarrow F[/tex] е вътрешна точка за квадрата $ABCD$.
[tex]V_{ABCDM } = a^{2 }. \frac{h}{3}[/tex]
[tex]V_{AFDM } = \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{4}. \frac{h}{3}[/tex]

[tex]V_{ABCDM } - V_{AFDM } = 108(4 - \sqrt{3}) \Leftrightarrow a^{2 } \frac{h}{3} - \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{4}. \frac{h}{3} = 108(4 - \sqrt{3} ) \Leftrightarrow \frac{ a^{2 }h }{12}(4 - \sqrt{3}) = 108(4 - \sqrt{3})[/tex]
$$\Rightarrow \frac{ a^{2 }h }{12} = 108 $$

[tex]\angle MAH = \varphi , \tg \varphi = \frac{MH}{AH}[/tex]
$MH = h$ , [tex]AH = \frac{AC}{2} = \frac{a \sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]\tg \varphi = \frac{h}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} } \Leftrightarrow \frac{3 \sqrt{2} }{4} = \frac{h \sqrt{2} }{a}[/tex]
$$\Rightarrow \frac{h}{a} = \frac{3}{4} $$
[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{ a^{2 }h }{12} = 108 \\ \displaystyle\frac{h}{a} =\displaystyle \frac{3}{4} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} h = \displaystyle\frac{12.108}{ a^{2 } } \\ h = \displaystyle\frac{3a}{4} \end{array} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{12.108}{ a^{2 } } =\displaystyle \frac{3a}{4}[/tex]
[tex]\frac{12.108}{ a^{2 } } = \frac{3a}{4} \Leftrightarrow a^{3 } = 4^{2 }.108 = 4^{3 }. 3^{3 } \Leftrightarrow a = 12[/tex]
$$\Rightarrow a =12 , h = 9$$

За правоъгълния [tex]\triangle AHM[/tex]:
[tex]AH = \frac{12 \sqrt{2} }{2} = 6 \sqrt{2}, MH = 9[/tex]
Прилагам Питагорова теорема и получавам :$$AM = 3 \sqrt{17} , BM = AM = 3 \sqrt{17}$$

За правоъгълния [tex]\triangle HFM[/tex]:
$HM= 9$
[tex]HF = NF - NH = \frac{12 \sqrt{3} }{2} - 6 = 6( \sqrt{3} - 1)[/tex]
Прилагам Питагорова теорема:
[tex]FM^{2 } = HM^{2 } + HF^{2 } \Leftrightarrow FM^{2 } = 81 + 36 ( \sqrt{3} - 1)^{2 } = 81 + 36(3 -2 \sqrt{3}+ 1) =....=9(25 - 8 \sqrt{3} )[/tex]
$$\Rightarrow FM = 3 \sqrt{25 - 8 \sqrt{3} } $$

Скрит текст: покажи

Въсможно е да има грешки при пресмятането !Ако намерите такива,моля да ме извините!

[ammornil]

Моето решение е подобно на това на S.B. Според мен има още един случай, който трябва да се разгледа, защото не е задължително триъгълната пирамида да е права, нито основата ѝ да лежи вътре в основата на квадратната пирамида. Само точката $F$ трябва да е от равнината в която лежи основата на четириъгълната пирамида.$\\[6pt]$

Screenshot 2026-08-30 171704.png (113.93 KiB) Прегледано 80 пъти

$\\ $Ще се опитам да напиша моето решение по-късно.

[S.B.]

Да,има и втори случай.

[ammornil]

Ето и моята идея за решение$\\ $

Screenshot 2026-08-30 171704.png (113.93 KiB) Прегледано 64 пъти

$\\ $Да разгледаме първо правилната четириъгълна пирамида $ABCDM \\ \sqsupset{} AB=BC=CD=AD=x \Rightarrow AC =BD = x\sqrt{2} \Rightarrow DO= \dfrac{x\sqrt{2}}{2} \\[6pt] MO\bot{p(ABCD)} \Rightarrow MO=H \\[6pt] \tg{\varphi}=\dfrac{MO}{DO} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{3\sqrt{2}}{4} = \dfrac{H}{\dfrac{x\sqrt{2}}{2}} \quad \Leftrightarrow \quad 6x= 8H \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{H= \dfrac{3x}{4}} \\[12pt] V_{ABCDM}= \dfrac{1}{3}\cdot{S_{ABCD}}\cdot{MO}= \dfrac{1}{3}\cdot{x^{2}}\cdot{\dfrac{3x}{4}}= \dfrac{x^{3}}{4} \\[6pt] V_{ADFM}= \dfrac{1}{3}\cdot{S_{ADF}}\cdot{MO}= \dfrac{1}{3}\cdot{\dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{4}}\cdot{\dfrac{3x}{4}} =\dfrac{x^{3}\sqrt{3}}{16} \\[6pt] V_{ABCDM} -V_{ADFM}= 108(4 -\sqrt{3}) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^{3}}{4} -\dfrac{x^{3}\sqrt{3}}{16}= 108(4 -\sqrt{3}) \\[6pt] \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^{3}}{16} (4 -\sqrt{3})= 108(4 -\sqrt{3}) \begin{array}{|}\cdot{}\dfrac{16}{(4 -\sqrt{3})}\end{array} \quad \Leftrightarrow \quad x^{3}= 16\cdot{108} \quad \Leftrightarrow \quad x=12 \Rightarrow \begin{cases} AB= BC= CD= AD= 12 \\ MO= H= 9 \\ DO= 6\sqrt{2} \end{cases} \\[6pt] AM=BM=CM=DM= \sqrt{DO^{2} +MO^{2}}= \sqrt{72 +81}= 3\sqrt{17} \\[12pt]$ Точката $F$ може да лежи във всяка от двете полуравнини, определени от правата съдържаща $AD$. По условие $\triangle{ADF}$ е равностранен, значи $F$ лежи на симетралата на $AD$ и е на разстояние $x$ от $A$ и $D$. Нека $F_{1}$ е такава точка външна за основата на квадратната пирамида, а $F_{2}$ е такава точка, вътрешна за основата на чтириъгълната пирамида, и $Q$ е средата на $AD$. $\\[6pt] OQ=\dfrac{1}{2}AB= 6 \\[6pt] \triangle{F_{1}AD}: F_{1}Q =h, \angle{ADF_{1}}=60^{\circ} \Rightarrow F_{1}Q=\dfrac{AD\sqrt{3}}{2}= 6\sqrt{3} \\[6pt] F_{1}O= F_{1}Q +QO= 6\sqrt{3} +6= 6(\sqrt{3} +1) \\[6pt] F_{1}M= \sqrt{F_{1}O^{2} +MO^{2}}= \sqrt{36(\sqrt{3^{2}} +2\sqrt{3} +1) +81}= \sqrt{9\cdot{4}(4+2\sqrt{3})+9^{2}}= \sqrt{9}\sqrt{16+8\sqrt{3} +9}= 3\sqrt{25+8\sqrt{3}} \\[12pt] \triangle{F_{2}AD}: F_{2}Q =h, \angle{ADF_{1}}=60^{\circ} \Rightarrow F_{2}Q=\dfrac{AD\sqrt{3}}{2}= 6\sqrt{3} \\[6pt] F_{2}O= F_{2}Q -QO= 6\sqrt{3} -6= 6(\sqrt{3} -1) \\[6pt] F_{2}M= \sqrt{F_{2}O^{2} +MO^{2}}= \sqrt{36(\sqrt{3^{2}} -2\sqrt{3} +1) +81}= \sqrt{9\cdot{4}(4-2\sqrt{3})+9^{2}}= \sqrt{9}\sqrt{16-8\sqrt{3} +9}= 3\sqrt{25-8\sqrt{3}}$ $$ \text{ОТГ.}:\quad \begin{pmatrix} 3\sqrt{17},& 3\sqrt{17}, & 3\sqrt{25+8\sqrt{3}} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3\sqrt{17}, & 3\sqrt{17}, & 3\sqrt{25-8\sqrt{3}} \end{pmatrix} $$