Намерете пълната повърхнина и обема на пирамидата

[ammornil]

Основата на пирамида е равнобедрен триъгълник с ъгъл при основата $30^{\circ}$ и периметър $6(2+\sqrt{3})$. Ако всички околни ръбове на пирамидата са равни помежду си, а височината на пирамидата е равна на радиуса на описаната около основата ѝ окръжност, да се намерят пълната повърхнина и обема на пирамидата.

[S.B.]

Основата на пирамида е равнобедрен триъгълник с ъгъл при основата $30^{\circ}$ и периметър $6(2+\sqrt{3})$. Ако всички околни ръбове на пирамидата са равни помежду си, а височината на пирамидата е равна на радиуса на описаната около основата ѝ окръжност, да се намерят пълната повърхнина и обема на пирамидата.

Без заглавие - 2026-09-01T075432.108.png (351.82 KiB) Прегледано 99 пъти

Разглеждам основата на пирамидата $ABCM$:
[tex]CN \bot AB , AN = NB = x , AC = BC = y ; AB + BC + CA = P_{ABC } \Leftrightarrow 2x + 2y = 6(2 + \sqrt{3}) \Leftrightarrow x + y = 3(2 + \sqrt{3} )[/tex]
От [tex]\triangle ANC \rightarrow \frac{AN}{AC} = \cos 30 ^\circ \Leftrightarrow AN = AC.\cos 30 ^\circ \Leftrightarrow x = y. \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x + y = 3(2 + \sqrt{3}) \\ x= y.\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} \end{array} .....\Rightarrow x= 3 \sqrt{3} ,y = 6[/tex]
$$\Rightarrow AC = BC = 6 , AB = 6 \sqrt{3} $$
[tex]S_{ABC } = \frac{AC.AB.\sin 30 ^\circ }{2} \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{6.6 \sqrt{3} }{4}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABC } = 9 \sqrt{3} $$
Прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{AC}{\sin 30 ^\circ } = 2R \Leftrightarrow AC = \sin 30.2R \Leftrightarrow 6 = \frac{1}{2} .2R[/tex] ($R$ е радиус на описаната около основата окръжност)
$$\Rightarrow R = 6$$
Пирамидата $ABCM$:
Околните ръбове са равни [tex]\Rightarrow[/tex] върхът $M$ се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност - т.$H$
По условие [tex]MH = R \Rightarrow \triangle HAM \cong \triangle HBM \cong \triangle HCM[/tex] са равнобедрени правоъгълни триъгълници.
$$\Rightarrow AM = BM = CM = R\sqrt{2} = 6 \sqrt{2} $$
[tex]MP \bot AC, MQ \bot BC[/tex] са апотеми на околните стени $ACM$ и $BCM$
[tex]\triangle ACM \cong BCM \Rightarrow MP = MQ[/tex]
[tex]MP^{2 } = AM^{2 } - AP^{2 } \Leftrightarrow MP^{2 } = (6 \sqrt{2}) ^{2 } - 3^{2 } \Leftrightarrow MP^{2 } = 72 -9 = 63[/tex]
$$\Rightarrow MP = MQ = 3 \sqrt{7} $$
[tex]MN \bot AB[/tex] е апотемата на стената $ABM$
[tex]MN^{2 } = MA^{2 } - AN^{2 } \Leftrightarrow MN^{2 } = (6 \sqrt{2}) ^{2 } - (3 \sqrt{3}) ^{2 } \Leftrightarrow MN^{2 } = 72 - 27 = 45[/tex]
$$\Rightarrow MN = 3 \sqrt{5} $$

[tex]V_{ABCM } = \frac{1}{3} . S_{ABC } .MH \Leftrightarrow V_{ABCM } = \frac{1}{3} .9 \sqrt{3} .6[/tex]
$$\Rightarrow V_{ABCM } = 18 \sqrt{3} $$
[tex]S_{пълна } = S_{ABM } + S_{ACM } + S_{BCM } + S_{ABC } = \frac{AB.MN}{2} + \frac{AC.MP}{2} + \frac{BC.MQ}{2} + 9 \sqrt{3} =[/tex]
[tex]= 2. \frac{6.3 \sqrt{7} }{2} + \frac{6 \sqrt{3}.3 \sqrt{5} }{2} + 9 \sqrt{3} = 18 \sqrt{7} + 9 \sqrt{15} + 9 \sqrt{3} = 9(2 \sqrt{7} + \sqrt{15}+ \sqrt{3})[/tex]
$$\Rightarrow S_{пълна } = 9(2 \sqrt{7} + \sqrt{15} + \sqrt{3}) $$

[ammornil]

Много подробно и подредено решение. Благодаря на S.B.
Моето е почти същото, само дето в началото аз означавам дължината на височината към основата на основата ( ) с $AN=x$ и тогава $BN=CN=x\sqrt{3}, \quad AB=AC=2x$, замествам за периметъра и намирам $x$. Оттам чрез лицато на основата $S=\dfrac{BC\cdot{AN}}{2}=\dfrac{AB\cdot{BC}\cdot{AC}}{4\cdot{R_{оп.окр.}}}$ намирам радиуса на описаната окръжност и това е и височината на пирамидата. И после остналото.
Малко ме е яд, че не се сетих да ползвам Синусова теорема вместо лице за намирането на радиуса
Само една бележка по чертежа, центърът на описаната около тъпоъгълен триъгълник окръжност лежи извън триъгълника.$\\[12pt]$

Screenshot 2026-09-01 131050.png (41.39 KiB) Прегледано 83 пъти

[S.B.]

Да,прав сте!Не съобразих,че т.H е извън триъгълника!

[S.B.]

Да,прав сте!Не съобразих,че т.H е извън триъгълника!

Ето и коригираният чертеж

Без заглавие - 2026-09-01T172901.234.png (506.05 KiB) Прегледано 75 пъти