Сфера в сфера

[ammornil]

Две сфери с различни радиуси се допират вътрешно. Ако центърът на голямата сфера лежи на повърхността на малката сфера какво е отношението на обемите на двете сфери.

[S.B.]

Две сфери с различни радиуси се допират вътрешно. Ако центърът на голямата сфера лежи на повърхността на малката сфера какво е отношението на обемите на двете сфери.

Без заглавие - 2026-09-07T140935.210.png (215.1 KiB) Прегледано 179 пъти

[tex]O_{1 }T = R , O_{1 } O_{2 } = O_{2 }T = r \Rightarrow R = 2r[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{ V_{ s_{1 } } }{ V_{ s_{2 } } } = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3} \pi R^{3 } }{\displaystyle \frac{4}{3} \pi r^{3 } } =\displaystyle \frac{ R^{3 } }{ r^{3 } } = \displaystyle \frac{ (2r)^{3 } }{ r^{3 } } = \displaystyle \frac{8 r^{3 } }{ r^{3 } } = \displaystyle \frac{8}{1} = 8:1[/tex]

[Гост]

Може би трябва да се докаже че това е единствен случай. Може центара да лежи и на друго място

[KOPMOPAH]

Съгласен съм с гореписавшия "Гост". Трябва да има някакво доказателство, че това е единственото възможно разположение на сферите. Тогава веднага следва, че обемите се отнасят както третите степени на линейните размери (радиусите).

[ammornil]

Screenshot 2026-09-07 223211.png (42.18 KiB) Прегледано 148 пъти

$\\[6pt]$За да е изпълнено условието, геомертричното място от точки където трябва да лежи центърът на малката сфера е сфера с радиус половината на радиуса на голямата сфера (центърът на малката сфера лежи на сфера със същия радиус като нейния, но с център съвпадащ с центъра на голямата сфера).$\\[6pt] s(O,R), s_{1}\left(O_{1},R_{1}\right), OO_{1}=R_{1}, R_{1}\leq{R} \rightarrow \begin{cases} R_{1}>\dfrac{R}{2} \Rightarrow s\cap{}s_{1} = \text{окръжност} \\[6pt] R_{1}=\dfrac{R}{2} \Rightarrow s\cap{}s_{1} = \text{точка} \\[6pt] R_{1}<\dfrac{R}{2} \Rightarrow s\cap{}s_{1} = \oslash \end{cases}$

[S.B.]

Съгласен съм с гореписавшия "Гост". Трябва да има някакво доказателство, че това е единственото възможно разположение на сферите. Тогава веднага следва, че обемите се отнасят както третите степени на линейните размери (радиусите).

Без заглавие - 2026-09-08T190618.098.png (264.77 KiB) Прегледано 122 пъти

Има правило, според което,когато две сфери се допират (независимо дали вътрешно или външно) в някаква точка $T$ , то тя принадлежи на централата [tex]O_{1 } O_{2 }[/tex] на двете сфери.Това лесно се доказва от факта,че в точката на допиране $T$ съществува обща допирателна $t$ и за двете сфери.
[tex]\begin{cases} Т О_{1 } \bot t\\ T O_{2 } \bot t\end{cases} \Rightarrow O_{1 } O_{1 } \bot t, T \in O_{1 } O_{2 }[/tex] защото през т.$T$ съществува единствен перпендикуляр към правата $t$