D, медицентърът и центърът на оп. около тетраедъра сфера

[snake1109]

В тетраедъра ABCD [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\angle[/tex]BDC=[tex]\angle[/tex]ADC=90°. Да се докаже, че върхът D, медицентърът на триъгълника ABC и центърът на описаната около тетраедъра сфера лежат на една права.

[ganka simeonova]

В тетраедъра ABCD [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\angle[/tex]BDC=[tex]\angle[/tex]ADC=90°. Да се докаже, че върхът D, медицентърът на триъгълника ABC и центърът на описаната около тетраедъра сфера лежат на една права.

Според мен, имаш лека грешка в някоя буквичка

[snake1109]

В тетраедъра ABCD [tex]\angle[/tex]ADB=[tex]\angle[/tex]BDC=[tex]\angle[/tex]ADC=90°. Да се докаже, че върхът D, медицентърът на триъгълника ABC и центърът на описаната около тетраедъра сфера лежат на една права.

[ganka simeonova]

От условието на задачата=>
[tex]CD\bot AD; CD\bot BD=>CD\bot (ABD)=>CD\bot AB[/tex], но [tex]BD\bot AB=>AB\bot (CDB)[/tex]

Тoгава ще начертаем пирамидата с основа правоъгълния [tex]\Delta BDC[/tex] и височина [tex]AB[/tex]
Да означим средата на АС с т.О.
Тъй като [tex]BO; DO[/tex] се явяват медиани в правоъгълни триъгълници с обща хипотенуза [tex]AC[/tex]=>
[tex]AO=CO=BO=DO[/tex]=>т. О ще е център на описаната сфера.
Тогава правата през О и D ще съдържа медицентъра на триъгълник [tex]ADC[/tex], но не и на [tex]\Delta ABC[/tex].
Затова казах, че имаш сгрешена буквичка.

[snake1109]

Благодаря!