триъгълна пирамида

[MasterZ]

основата на триъгълна пирамида е равностранен триъгълник с дължина на страната а. Една от околните стени е също равностранен триъгълник и сключва с равнината на основата ъгъл 60°.
Да се намери лицето на околната повърхнина.
Задачка за спорта 4
П.П. тук пак трябва да се разгледат 2 случая.

[mkmarinov]

Нека пирамидата ни е [tex]ABCD, DH \bot (ABC), BC=CD=DB[/tex]. Ясно е, че Н лежи на височината/медианата в основата. Нека цялата височина е [tex]AM[/tex]. Нека [tex]\angle AMD = \varphi \in \{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \}[/tex] (тук са двата случая). Разглеждаме триъгълник AMD: [tex]AM=DM=a \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. От косинусова теорема: [tex]AD=a \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{\varphi}{2}[/tex].
Сега разглеждаме триъгълник ABD, еднакъв с ACD (по три страни): [tex]AB=a, AD=a \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{\varphi}{2}, BD=a[/tex]. От косинусовата теорема имаме: [tex]cos \angle ABD = \frac{a^2+a^2-a^2 \frac{3}{4} \sin ^2 \frac{\varphi}{2}}{2a^2}=1-\frac{3}{8} \sin ^2 \frac{\varphi}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}cos \varphi[/tex]
[tex]sin \angle ABD = ...[/tex]
[tex]S=2S_{ABD}+S_{BDC}=a^2 sin \angle ABD + a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]

[MasterZ]

[quote="mkmarinov"]Нека пирамидата ни е [tex]ABCD, DH \bot (ABC), BC=CD=DB[/tex]. Ясно е, че Н лежи на височината/медианата в основата. Нека цялата височина е [tex]AM[/tex]. Нека [tex]\angle AMD = \varphi \in \{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \}[/tex] (тук са двата случая). Разглеждаме триъгълник AMD: [tex]AM=DM=a \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. От косинусова теорема: [tex]AD=a \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{\varphi}{2}[/tex].
Сега разглеждаме триъгълник ABD, еднакъв с ACD (по три страни): [tex]AB=a, AD=a \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{\varphi}{2}, BD=a[/tex]. От косинусовата теорема имаме: [tex]cos \angle ABD = \frac{a^2+a^2-a^2 \frac{3}{4} \sin ^2 \frac{\varphi}{2}}{2a^2}=1-\frac{3}{8} \sin ^2 \frac{\varphi}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}cos \varphi[/tex]
[tex]sin \angle ABD = ...[/tex]
[tex]S=2S_{ABD}+S_{BDC}=a^2 sin \angle ABD + a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}[/tex][quote]
точно така . Oтговорите са:
1)[tex]\frac{\sqrt{3}a^2}{8}.(\sqrt{13}+2)[/tex]
2)[tex]\frac{\sqrt{3}a^2}{8}.(\sqrt{21}+2)[/tex]