Кватерниони

[няквоситамиме]

Няколко пъти се мъчих да им разбера концепцията и начина на действие, но нищо не схванах. Ако някой благоволи да ми го обясни просто на чист български, няма да има представа колко ще съм му благодарен.

[martin.nikolov]

За какво ти трябват кватернионите и от къде си чел?

Кватернионите (класическите Хамилтонови) могат да се дефинират по следния начин. Като множество те са изрази от следния тип [tex]a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k[/tex]. Където [tex]a, b, c, d[/tex] са реални числа, а [tex]i, j, k[/tex] са просто символи. Друг начин е да си мислиш за тях като наредени четворки от реални числа [tex](a, b, c, d)[/tex], което е просто различен запис. Конкретен пример за кватернион е [tex]5-2\mathbf i+3\mathbf j+10\mathbf k[/tex]. Това са кватернионите като множество. Опреациите са дефинирани последния начин. Събират се поелементно и се умножават изпозлвайки дистрибутивния законон и следните съотношения (които са част от дефиницията).

[tex]\mathbf i^2=\mathbf j^2=\mathbf k^2=-1, \quad \mathbf i\mathbf j=k,\quad \mathbf j\mathbf k=i,\quad \mathbf k\mathbf i=j[/tex]

И в последните произведения, ако размениш местата на двата мновителя се сменя знака от плюс на минус.

[няквоситамиме]

Трябва ми, за да ги приложа в триизмерни трансформации. По-конкретно ме интересува, b, c и d на коя ос отговарят(x, y, z), как се извършва умножението между два кватерниона. Чел съм, че а е някакъв вид завъртане, но какъв точно. Как се превръща кватернион в матрица и обратно, коя част от матрица за коя част от трансформацията се отнася...
С две думи ясно ми е като в мъгла.

[martin.nikolov]

Трябва ми, за да ги приложа в триизмерни трансформации. По-конкретно ме интересува, b, c и d на коя ос отговарят(x, y, z), как се извършва умножението между два кватерниона. Чел съм, че а е някакъв вид завъртане, но какъв точно. Как се превръща кватернион в матрица и обратно, коя част от матрица за коя част от трансформацията се отнася...
С две думи ясно ми е като в мъгла.

Много въпроси накуп. Първо научи какво са и после как са свързани с ротации и какво е матричнто представяне и т.н. Всичко това би било дълго да се пише тук. Кажи от къде четеш. И ако задаваш кратки и конкретни въпроси ще можем да ти отговорим.

[няквоситамиме]

Четох главно от википедията и от http://www.euclideanspace.com/maths/alg ... /index.htm Проблемът е, че материалите са написани от разбирачи за разбирачи - просто е изписана материята, без никакво по-специално усилие да се улесни изучаването.
Всичко, което го написа в предния си пост го знам, както и какво са комплексните числа, какво са двуизмерните и четириизмерните числа(кватерниони) и още малко. Конкретните въпроси ги зададох вече, че има много за четене не ме плаши.
1. Как се отнасят a, b, c, d, i, j и k към трите оси x, y и z, както и към ротациите?
2. Как се превръща кватернион в матрица и обратно?
3. Кое поле в матрицата на какво отговаря(ротация, мащабиране, т.н.)?

[martin.nikolov]

Чистите кватерниони т.е. тези с нулева релана част т.е. тези от вида [tex]u=x\mathbf i+y\mathbf j+z\mathbf k[/tex] отговарят на точка с координати [tex](x,y,z)[/tex]. При даден единичен кватернион [tex]q=a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k[/tex] (т.е. с норма едно), може да дефинираш изображение на тримерното пространство по формулата [tex]L_q(u):=qu\overline q[/tex]. Може да се докаже, че това изображение е ротация в тримерното пространство и всички ротации се получават по този начин. Съответствието не е еднозначно, q и -q дават една и съща ротациия. Това е динственат нееднозначност.