Отношение на обеми на две тела

[nadeva]

Ще съм много благодарна ако някой ми помогне за тази задача:


Дадена е правилна триъгълна пирамида АВСД с взаимно перпендикулярни околни ръбове АД, ВД и СД. Върхът F на правилна четириъгълна пирамида лежи на ръба АД, а върховете на основата MNPQ лежат на останалите ръбове на триъгълната пирамида. Да се намери отошението на обема на пирамидата MNPQF към обема на пирамидата АВСД.

DSC-0000008.jpg (40.96 KiB) Прегледано 456 пъти

[L.e.o]

Нека основата на 3-пирамидата е а, а на 4-пирамидата е х.
MN =x , но MN||AD => <MNB = прав , <МBN = 45 => NB=NM = x
Но, ▲АМQ-равностранен => МВ = а-х
Пит. Т. за ▲МNB: x^2 + x^2 = (a-x)^2 => x = a(√2-1)
Сега нека намерим и височината на четириъглната пирамида.
AD _|_ равнината DBC, Но AD || MN и PQ, MN и PQ са _|_ на NP, която принадлежи на равнината DBC => равнината MNPQ _|_ равнината DBC
Но F принадлежи на AD. Тоест ако спуснем от D височина към правата NP, то дължината на тази височина е равна на височината на пирамидата. С Пит. Т, намираме:
h^2 + x^2/4 = x^2/2 => h = x/√2 = a(√2-1)/√2
Намираме обемите на 2те пирами изразени чрез а и ги сравняваме.

[nadeva]

А би ли обяснил защо непременно NM трябва да е ІІна АД?

[ganka simeonova]

А би ли обяснил защо непременно NM трябва да е ІІна АД?

[tex]AD\bot BD; AD\bot DC=>AD\bot (BDC)=>AD\bot BC[/tex](1)

[tex]MN\bot NP; NP//BC=>NP\bot BC[/tex](2)
(1) и (2)=>[tex]MN//AD[/tex]защото и двете са перпендикулярни на една и съща права и лежат в една и съща равнина.

[nadeva]

Да, разбира се. Но чак сега го осъзнавам. Тази стереометрия е много коварна.
Благодаря много!

[ganka simeonova]

Да, разбира се. Но чак сега го осъзнавам. Тази стереометрия е много коварна.
Благодаря много!

Аз бих казала, че Стереометрията е много красива