Заплетена екстремална задачка

[vladislav92]

Здравейте! Малко помощ, моля, яко се омотах с тази задачка:
Обемът на правилна триъгълна пирамида е [tex]V=\frac{2S\sqrt{S}}{3\sqrt[4]{27}cos\alpha\sqrt{sin\alpha } }[/tex], където [tex]\alpha[/tex] е големината на ъгъла между околен ръб и основата, а S e лицето на сечението, получено от пресичането на пирамидата с равнина, минаваща през основен ръб и перпендикулярна на срещуположния му околен ръб. Стойността на [tex]sin\alpha[/tex], за която при дадено S обемът на пирамидата е най-малък е?

[ganka simeonova]

Понеже във формулата за обем единствената променлива част е [tex]cos\alpha \sqrt{sin\alpha }[/tex], и тя е в знаменател, обемът ще е най- малък, когато [tex]cos\alpha \sqrt{sin\alpha }[/tex] приеме най- голяма стойност.

[tex]cos\alpha \sqrt{sin\alpha }[/tex]=[tex]\sqrt{cos^2\alpha sin\alpha } =\sqrt{(1-sin^2\alpha )sin\alpha } =\sqrt{sin\alpha -sin^3\alpha }[/tex]
Да положим [tex]sin\alpha =t\in (0; 1)[/tex] и да разгледаме

[tex]g(t)=t-t^3[/tex]; [tex]g'(t)=1-3t^2=>g'(t)=0[/tex] при [tex]t=\pm \frac{\sqrt{3} }{3 }[/tex]

Но в разглеждания интервал попада само пол. корен, при който ф-та има максимум=>най- малък обем ще имаме за
[tex]sin\alpha =\frac{\sqrt{3} }{3 }[/tex]

[vladislav92]

Благодаря Ви!