Описани тела

[mathinvalidnik]

В правилна четириъгълна пирамида основния ръб има дължина а,а двустенния ъгъл между две съседни околни стени има мярка [tex]\varphi[/tex].Намерете радиуса на описаната около пирамидата сфера.

[ganka simeonova]

Т.к. пирамидата е правилна радиусът на описаната сфера се намира по формулата [tex]R=\frac{l^2}{2h }[/tex]( тя важи за всички пирамиди с равни околни ръбове). Затова няма да чертая сферата.
От [tex]\Delta DHF=>cotg\frac{\varphi }{ 2} =\frac{FH}{HD }=\frac{2d}{a\sqrt{2} }[/tex]
От [tex]\Delta HFC=>sin\alpha =\frac{HF}{HC } =\frac{2d}{a\sqrt{2} } =>sin\alpha =cotg\frac{\varphi }{2 }[/tex]
Тогава разглеждаме [tex]\Delta CHQ[/tex]. В него знаем страна и синус на остър ъгъл=> можем да намерим другите две страни, които са h и l.

[mathinvalidnik]

В правилна триъгълна пресечена пирамида е вписана сфера с радиус R .Ъгълът между околната стена и долната основа е [tex]\alpha[/tex].Намерете обема на пирамидата.

[ganka simeonova]

Сега, кажи до къде си стигнал.

[mathinvalidnik]

AB=BC=AC=a , A1B1=B1C1=A1C1=b ,SO=SO1=R ,[tex]\angle OMS=\frac{\alpha}{2 }[/tex],[tex]V=\frac{h}{3 }(B+B1+\sqrt{B.B1} )=?[/tex]

[tex]\angle OMM1 + \angle MM1O1=180;\alpha+\angle MM1O1=180 <=> \angle MM1O1 = 180 - \alpha[/tex] Тогава от триъгълника SM1O1 -> [tex]\angle M1SO1=180-(\frac{180-\alpha}{2 }+90) -> \fbox{\angle M1SO1 = \frac{\alpha}{2 }= \angle SMO}[/tex] (а може да се съобрази от правилото за острите ъгли с перпендикулярни рамене)
Сега Разгл. SMO [tex]\frac{R}{r }=tg\frac{\alpha}{2 }[/tex] <=> [tex]r=\frac{R}{tg\frac{\alpha}{2 } }[/tex] От друга страна [tex]r=\frac{a.\sqrt{3} }{6 }[/tex](радиуса на впис. окр.) -> [tex]\frac{a.\sqrt{3} }{6 }=\frac{R}{tg\frac{\alpha}{2 } }[/tex] <=> [tex]\fbox {a=\frac{6R}{\sqrt{3}.tg\frac{\alpha}{2 } } }[/tex] -> [tex]S=\frac{a^{2}.\sqrt{3} }{4 }=\frac{\frac{36.R^{2}.\sqrt{3} }{3.tg^{2}\frac{\alpha}{2 } }}{4 }=\fbox{\frac{3.r^{2}.\sqrt{3} }{tg^{2}\frac{\alpha}{2 } }=B=S_{ABC}}[/tex]

Аналогично разглеждаме SM1O1 . [tex]\frac{r1}{R }=tg\frac{\alpha}{2 } <=> \fbox{r1=R.tg\frac{\alpha}{2 }}[/tex] но [tex]r1=\frac{b.\sqrt{3} }{6 }[/tex] След приравняването [tex]\frac{b.\sqrt{3} }{6 }=R.tg\frac{\alpha}{2 }[/tex] виждаме,че [tex]\fbox{b=\frac{6R.tg\frac{\alpha}{2 }}{\sqrt{3} }}[/tex] , [tex]\fbox{S_{A1B1C1}=B1=\frac{b^{2}.\sqrt{3} }{4 }=3.r^{2}.tg^{2}\frac{\alpha}{2 }.\sqrt{3} }[/tex]

[tex]h=2R[/tex] И сега остава да заместим във [tex]V=\frac{h}{3 }(B+B1+\sqrt{B.B1} )=?[/tex]
[tex]V=\frac{2R}{3 }(\frac{3r^{2}}{tg^{2}\frac{\alpha}{2 } }+3.R^{2}.tg^{2}\frac{\alpha}{2 }.\sqrt{3}+\sqrt{\frac{3R^{2}.\sqrt{3}.3.R^{2}.tg^{2}\frac{\alpha}{2 }\sqrt{3} }{tg^{2}\frac{\alpha}{2 } }} )=\frac{2R}{3 }(\frac{3r^{2}}{tg^{2}\frac{\alpha}{2 } }+3.R^{2}.tg^{2}\frac{\alpha}{2 }.\sqrt{3}+\frac{R^{2}.3.tg\frac{\alpha}{2 }.\sqrt{3} }{tg \frac{\alpha}{2 } })=
\frac{2R}{3 }(\frac{3R^{2}.\sqrt{3}+3R^{2}.tg^{4}\frac{\alpha}{2 }.\sqrt{3}+R^{2}.3.tg^{2}\frac{\alpha}{2 }.\sqrt{3} }{tg^{2}\frac{\alpha}{2 } })=\frac{2R^{3}.\sqrt{3}}{tg^{2}\frac{\alpha}{2 } }.(tg^{4}\frac{\alpha}{2 }+tg^{2}\frac{\alpha}{2 }+1)sm^{3}[/tex]

[mathinvalidnik]

[tex]\frac{2R}{3 }(\frac{3R^{2}.\sqrt{3}+3R^{2}.tg^{4}\frac{\alpha}{2 }.\sqrt{3}+R^{2}.3.tg^{2}\frac{\alpha}{2 }.\sqrt{3} }{tg^{2}\frac{\alpha}{2 } })=\fbox{\frac{2R^{3}.\sqrt{3}}{tg^{2}\frac{\alpha}{2 } }.(tg^{4}\frac{\alpha}{2 }+tg^{2}\frac{\alpha}{2 }+1)sm^{3}}[/tex]

[ganka simeonova]

Преглеждайки, май не виждам нищо нередно. Какво те притеснява?
Въпреки, че има и по- лесно решение.

[mathinvalidnik]

кво са случва с тоя постинг не ми даде да го постна на 1 пост.иначе тва ми е крайния отговор.той може да варира зависи как сме изразили ъгъла .. смисъл с cotg Или tg .. аз съм решавал с tg .Тва е моето решение ,веропятно има по-кратко,макар че за моето имам едно съмнение и няма да го спомена да видя дали някой ще го открие или просто се заблуждавам.