Осн ръб, триъгълна пирамида

[Aurora]

Здравейте, от няколко дни се опитвам да реша една задача, но за съжаление така и не стигам до отговора.
Задачата е от учебника за 12 клас.

В правилна триъгълна пирамида околният ръб е 10 см., а лицето на околната повърхнина е 144 кв.см.. Намерете основният ръб на пирамидата.

Отговорът, според учебика е 12 или 16 см.

Предварително ви благодаря за помощта.

[ptj]

Околната стена ти е равнобедрен триъгълник със страни: [tex]10,10,a[/tex] . Височината към основния ръб в нея е [tex]\sqrt{100-\frac{a^2}{4 } }[/tex], a лицето й съответно [tex]S_(ok)=\frac{a}{2 }\sqrt{100-\frac{a^2}{4 } }[/tex].

Получаваш
[tex]\frac{3a}{2 }\sqrt{100-\frac{a^2}{4 } }=144[/tex]

[tex]a\sqrt{400-a}=192[/tex]

[tex](a^2-200)^2=3136[/tex]
[tex]|a^2-200|=56[/tex]
[tex]a=\pm 12[/tex] или [tex]a=\pm 16[/tex]

Решения са само 12 и 16.

[Xixibg]

[tex]\triangle ABD,\triangle ACD,\triangle BCD[/tex] са еднакви по 3-ти признак следователно и лицата са им равни.
[tex]S=S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BCD}=3S_{ABD}=144sm.^2[/tex]
[tex]=>S_{ABD}=\frac{144}{3}=48sm.^2; H\in AB , DH\bot AB[/tex]

Разглеждаме [tex]\triangle ABD[/tex] той е равнобедрен [tex]AD=BD ; => H[/tex] е среда на [tex]AB[/tex] (височината, ъглополовящата и медианата към основата на равнобедрен триъгълник съвпадат)
[tex]DH^2+AH^2=AD^2 ;=>DH^2+\frac{1}{4}.AB^2=100[/tex] (Питагорова теорема)

[tex]\begin{tabular}{|l}\frac{AB.DH}{2}=48 ; =>AB.DH=96 (1)\\DH^2+\frac{1}{4}.AB^2=100 (2)\end{tabular}[/tex]

[tex](1)+(2) =>DH^2+\frac{1}{4}.AB^2+AB.DH=196 ; =>(DH+\frac{1}{2}AB)^2=196[/tex]

[tex]=> DH+\frac{1}{2}AB=14 ; =>DH=14-\frac{1}{2}AB[/tex]

Заместваме в [tex]AB.DH=96[/tex] и получаваме

[tex](14-\frac{1}{2}AB)AB=96 ; =>-\frac{1}{2}AB^2+14AB-96=0[/tex] умножаваме с (-2)

[tex]AB^2-28AB+192=0[/tex]


[tex]D=28^2-4.192=784-768=16[/tex]

[tex]AB=\frac{28+4}{2}=16sm. ; AB=\frac{28-4}{2}=12sm.[/tex]