Обем

[DFcheee]

Обемът на правилна триъгълна пирамида е радвен на V Да се намери пълната повърхнина на пирамидата, ако околните стени са наклонени към равнината на основата под ъгъл α

[Xixibg]

[tex]ABCD[/tex] е правилна триъгълна пирамида с височина [tex]DO[/tex]
[tex]A_1\in BC ;AA_1\bot BC; B_1\in AC ;BB_1\bot AC; C_1\in AB ;CC_1\bot AB[/tex]
[tex]AB=AC=BC=b ;AA_1=BB_1=CC_1=\frac{b\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]=>A_1O=B_1O=C_1O=\frac{b\sqrt{3}}{6}[/tex]
[tex]=>A_1D=B_1D=C_1D=\frac{A_1O}{cos \alpha}=\frac{b\sqrt{3}}{6cos \alpha }[/tex]
[tex]DO=A_1O.tg\alpha=\frac{b\sqrt{3}.tg\alpha }{6}[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{AB.CC_1}{2}=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}[/tex]
[tex]V=\frac{1}{3}.S_{ABC}.DO=\frac{1}{3}.\frac{b^2\sqrt{3}}{4}.\frac{b\sqrt{3}.tg\alpha }{6}=\frac{b^3.tg \alpha }{24}[/tex]
[tex]=>b=\sqrt[3]{24V.cotg\alpha}=2\sqrt[3]{3V.cotg\alpha}[/tex]
[tex]S_{ABD}=S_{ACD}=S_{BCD}=\frac{AB.DC_1}{2}=\frac{b^2\sqrt{3}}{6cos \alpha }[/tex]
[tex]=>S=3.S_{ABD}+S_{ABC}=\frac{3b^2\sqrt{3}}{6cos \alpha }+\frac{b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{b^2\sqrt{3}(2+cos \alpha)}{4cos \alpha}=\frac{\sqrt{3}(2+cos \alpha)\sqrt[3]{9V^2.cotg^2\alpha}}{cos \alpha}[/tex]