Правилен тетраедър

[sisika]

Правилен тетраедър АВСД. точка Н е среда на АВ. точка Т е среда на СД. Намерете косинуса между ТН и АД.
Намирм, че е равен на 1, което вероятно не е вярно. Построявам от т. Н успоредна на АД, до пресичане с ръба ДВ - в точка N. NТ е средна отсечка и е равна на [tex]\frac{a}{ 2}[/tex]. NТ е съща средна отсечка и е равна на [tex]\frac{a}{ 2}[/tex]. НТ - според мен е равна на [tex]a[/tex].Ама не знам защо и чрез косинуова теорема получавам 1 или нула градуса, ама то не е възможно, нали? Къде греша?

[ganka simeonova]

Имаш грешка. От правоъгълния [tex]\Delta THB=>HT^2=TB^2-HB^2=\frac{3a^2 }{ 4} -\frac{a^2}{ 4} =\frac{2a^2}{ 4}[/tex]
[tex]\Delta HNT=>NH^2+NT^2=\frac{2a^2}{ 4} =HT^2=>\angle HNT=90^\circ =>\angle NHT=45^\circ[/tex]

[sisika]

Защо ТHB е правоъгълен? Не мога да го видя това...

[ganka simeonova]

АТВ е равнобедрен, нали така? ТН е медиана в него, следователно и височина.

[sisika]

Г-жо Симеонова, можете ли да ми погледнете предната задача - дали е верна - за куба?

[ganka simeonova]

след малко ще я погледна:)

[sisika]

Обаче, аз получавам 60 градуса ъгъл THN
HT=\frac{1}{2 } *[tex]a^{2}[/tex]
HN=[tex]\frac{a}{ 2}[/tex]
NT=[tex]\frac{a}{ 2}[/tex]
И косинусова теорема =1/2, което е 60 градуса

[ganka simeonova]

Обаче, аз получавам 60 градуса ъгъл THN

HNT е правоъгълен и равнобедрен..

[ganka simeonova]

Обаче, аз получавам 60 градуса ъгъл THN
HT=\frac{1}{2 } *[tex]a^{2}[/tex]
HN=[tex]\frac{a}{ 2}[/tex]
NT=[tex]\frac{a}{ 2}[/tex]
И косинусова теорема =1/2, което е 60 градуса

[tex]HT^2=\frac{a^2}{4 }[/tex]- не си повдигнала на втора знаменателя.

[sisika]

Ами много съм тъпа, пак не го получавам
триъгълник АТВ - равнобедрен и ТН е медиана и височина
От правоъгълния триъгълник ТНВ намираме
[tex]HT^{2}= TB^{2}-HB^{2}[/tex]
TB e mediana v BDC
TB=[tex]\frac{a}{2 }*\sqrt{3}[/tex]
[tex]HT^{2}= \frac{3a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{4 }=\frac{a^{2}}{2 }[/tex]
[tex]HT=\frac{a}{ \sqrt{2} }[/tex]
Не мога да си намеря грешката
HNT е правоъгълен и равнобедрен. Защо е правоъгълен, за равнобедрен - ок и аз така го намирам, но правоъгълен...

[ganka simeonova]

Ок, НТ сега си я написала вярно, но дори и да приложиш кос. т-ма за NHT, пак се получава, че [tex]cos\angle NHT=\frac{\sqrt{2} }{2 } =>\angle NHT=45^\circ[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]HN=NT=\frac{a}{2 } ; HT=\frac{a}{\sqrt{2} } ; HN^2+NT^2=HT^2[/tex]- страните удовлетворяват пит. т-ма...

[sisika]

Открих грешката, благодаря