Интересна задача за 10 клас

[someone]

За четириъгълника [tex]ABCD[/tex] е дадено, че [tex]AD = 2, \angle ABD = \angle ACD = 90 ^\circ[/tex] и разстоянието между центровете на вписаните в триъгълниците [tex]ABD[/tex] и [tex]ACD[/tex] окръжности е [tex]sqrt2[/tex] . Намерете страната [tex]BC[/tex].

[ganka simeonova]

Симпатична задчка:) Аз получих [tex]\sqrt{3}[/tex]. Искаш ли решение?

[someone]

Да, толкова е. Искам поне идеята, с цяло решение не искам да Ви затруднявам. Аз стигнах до момент, в който трябва да докажа, че един ъгъл е 60 градуса, което просто си нямам представа откъде ще дойде.

[ganka simeonova]

След два часа ще пусна решение с чертеж.

[ganka simeonova]

Означенията са на чертежа. [tex]AC=x; BD=y[/tex]
[tex]\Delta ABD=>AQ=\frac{a+2-x}{2 } ; \Delta ACD=>PD=\frac{b+2-y}{2 }[/tex]-допирателни отсечки.

=>[tex]PQ=\frac{x+y-a-b}{2 } ; r_1=\frac{a+x-2}{ 2}; r_2=\frac{b+y-2}{2 } =>r_1-r_2=\frac{a-b+x-y}{ 2}[/tex]


[tex]\Delta I_1FI_2=>I_1F^2+FI_2^2=I_1I_2^2[/tex]-тук следват малко повече преобразувания, след което получаваме:
[tex](b-x)^2+(a-y)^2=4[/tex] От [tex]\Delta ABD=>a=2cos\alpha ; x=2sin\alpha ; \Delta ACD=>b=2cos\beta ; y=2sin\beta[/tex]=>заместваш в равенството и след разкриване на скобите, получаваш:
[tex]sin(\alpha +\beta )=\frac{1}{ 2} =>[/tex]
1)[tex]\alpha +\beta =30^\circ[/tex]-което е невъзможно (защо?) или
2)[tex]\alpha +\beta =150^\circ =>\alpha =150^\circ -\beta =\angle BAD[/tex]Но[tex]\angle CAD=90^\circ -\beta =>\angle BAC=60^\circ[/tex]
[tex]\Delta BAC=>BC=2Rsin60^\circ =\sqrt{3}[/tex]

[someone]

Благодаря много за помощта, г-жо Симеонова! За пореден път ме очаровате с красивите си решения.

[ganka simeonova]

Благодаря много за помощта, г-жо Симеонова! За пореден път ме очаровате с красивите си решения.

Да ти кажа, аз такива задачи с доста сметки и тригонометрия много, много не харесвам, но специално по тази друго не измислих
Ще ми се да узная твоя начин на мислене по задачата.

[someone]

Ами аз стигнах до това равенство, от което обръщате на тригонометрия, т.е. първоначалната посока е очевидна - в задачата така и така имаме малко неща и човек бързо се сеща как да навърже даденото разстояние с радиуси и допирателни отсечки. Но след като стигнах до него тръгнах по друг неуспешен начин, още повече ме обърка факта, че тъй като имах отговора, сметнах, че трябва да изкарам [tex]\angle BAC = 60 ^\circ[/tex], което не знаех как, а и си мислех, че най-вероятно ще излезе от чисто геометрични съображения, а пък нямаме достатъчно данни за такива. Лично за мен вашият подход и това красиво преминаване към събиратели формули беше много полезно!

[Mr.G{}{}Fy]

Аз пък ще ти напиша едно решение и ще ти го постна утре Кратко е и се надявам,че ще ти хареса.Имам и авторовото решение (което е с много тригонометрични преобразувания).

[strangerforever]

Oчевидно BC зависи само от големината на ъгъл CAB, следователно местейки B и C върху дъгата AD, при фиксирана големина на дъгата BC, дължината на BC няма да се мени, значи можем да изберем B и C така, че AB = CD.

Тогава става значително по-лесно.

[ganka simeonova]

Oчевидно BC зависи само от големината на ъгъл CAB, следователно местейки B и C върху дъгата AD, при фиксирана големина на дъгата BC, дължината на BC няма да се мени, значи можем да изберем B и C така, че AB = CD.

Тогава става значително по-лесно.

Това ми хареса

[Mr.G{}{}Fy]

Ето това е моето решение.Само,че съм объркал означенията!Вместо AD диаметът съм го решавал,че AB е диаметър и от там идва малко разминаване.
П.П. Буквичката в ляво (върхът на четириъгълника) е A
П.П. 2 [tex]O_1[/tex] и [tex]O_2[/tex] са центровете на вписаните окръжности и съм използвал,че 4-те дадени точки лежат на една окръжност.
П.П. 3 С [tex]R_k[/tex] съм белязал радиуса на тази окръжност на чертежа,а с [tex]R[/tex] радиуса на описатана около дадения в задачата четириъгълник.

[Гост]

Може ли да ми помогнете с 2 задачки?
1) Вписаната в триъгълник АВС окръжност се допира съответно в точките М,N,P.Намерете страните на триъгълника, ако MN= 3 корен от 10 , NP=2 корен от 10 и РМ = 10. Отговори : АВ = 32,СА=24,ВС =16

2) В/у страната ВС на триъгълник АВС е взета т.Р така, че СР=1/4 СВ. Намерете ВС, ако АВ=6,АС=4 и АР=3 . Отговор :8

[martosss]

За първата задача ако знаеш тригонометрия става лесно:
1) предполагам, че М, N, P лежат върху АВ, ВС, АС.
2) Трябва ти да докажеш, че <APM=<AMP=<BNM и аналогично за другите две тройки ъгли(става лесно с дъги), откъдето получаваш три равнобедрени триъгълника AMP, MNB, NPB.
3) От триъгълник MNP намери косинусите на гореспоменатите ъгли, използвайки Косинусова теорема(учили ли сте я?).
Прилагайки косинусова теорема за гореспоменатите три триъгълника, изразявате неизвестните страни АМ, СР и СN.
Получават се у-я от вида x=a/(2cosα), където х е търсената страна(примерно АМ), а е общата страна между външния и вътрешния триъгълник(в случая РМ) и алфа е ъгълът срещу АМ, тоест <APM.

По същия начин и а другите две страни...

Накрая остава просто да намериш целите страни АВ, ВС, АС, които се образуват като сбор от две малки части.


За втората задача използваш Косинусова теорема в триъг. АВР и триъг. АВС:
cos <ABP=cos<ABC=(AB²+BP²-AP²)/(2*AB*BP)=(AB²+BC²-AC²)/(2*AB*AC)
Остава да си означиш ВС=4а, откъдето ВР=3а и да образуваш уравнение с 1 неизвестно - а.
получава се
(36+9a²-9)*4=3(36+16a²-16)
и окончателно a=2 => BC=4a=8.