задача от Великденско математ. състезание

[domlika]

зад. Ако ъгъл BAD = 60 градуса в успоредника ABCD и окръжността с радиус R , минаваща през върховете A, B и D разполовява страната CD , то лицето на успоредника е равно на ?
отг [tex]R^{2}[/tex][tex]\sqrt{3}[/tex]

[martin123456]

нека [tex]AD=2x[/tex], нека [tex]M[/tex] среда на [tex]CD[/tex]. тъй като около [tex]ABMD[/tex] има окръжност, а фигурата е трапец => той е равнобедрен => [tex]BM=2x[/tex]. Но [tex]\angle MCB = 60^\circ[/tex], [tex]BC=2x[/tex]=>[tex]\Delta MCB[/tex] е равностранен => [tex]DM=MC=2x[/tex]=> [tex]DB \bot BC[/tex]. лицето на успоредника е [tex]2S_{DBC}=DB.BC[/tex]. от синусова т-ма за [tex]\Delta ADB[/tex]: [tex]BD=\sqrt{3}R[/tex]. в [tex]\Delta DCB[/tex]: [tex]\cos{30^\circ}=\frac{R\sqrt{3}}{4x}[/tex]=>[tex]BC=2x=R[/tex].

[domlika]

хиляди благодарности