Геометрична задача

[LazyWorker]

В окръжност с радиус 2[tex]\sqrt{3}[/tex] е вписан триъгълник ABC със страна AB=4 и ъгъл BAC=60 градуса. Да се намери:
а) дължината на средната отсечка MN в триъгълник ABC, която е успоредна на AC.
б) разстоянието между точките, в които продълженията на MN пресичат окръжността.

[Nathi123]

а) Средната отсечка MN успоредна на страната АС =[tex]\frac{1}{2}[/tex]AC. От синусова теорема за триъг.АВС следва,че [tex]\frac{BC}{sin60}[/tex]=2.2[tex]\sqrt{3}[/tex]. Така получаваме ,че ВС = 6.Нека АС = х . От косинусова теорема за триъг. АВС ,следва [tex]BC^{2}[/tex] = [tex]AC^{2}[/tex] +[tex]AB^{2}[/tex] - 2AC.ABcos60 . Получаваме уравнението за х [tex]x^{2}[/tex]-2x-20 = 0 ; x>0 . Положителното решение е x = 2 + 2[tex]\sqrt{6}[/tex] .Тогава MN = [tex]\frac{1}{2}[/tex]x = 1+ [tex]\sqrt{6}[/tex]. б) Нека правата MN пресича описаната около триъг. АВС окръжност в точки P и Q,като N е между М и Р,а М е между N и Q. Търси се дължината на хордата PQ. PQ = NM + NP + MQ. Нека NP = y ,MQ=z. Хордите ВС и PQ се пресичат в точка N (среда на ВС). Тогава NP.NQ=CN.NB или y.(NM+z)=9 y(1+[tex]\sqrt{6}[/tex]+z)=9 y(1+[tex]\sqrt{6}[/tex])+yz=9 (1),аналогично се получава,че z(1+[tex]\sqrt{6}[/tex]) +yz= 4 (2) . Изваждаме почленно (1) и (2)1 получаваме y-z = [tex]\frac{5}{1+\sqrt{6}}[/tex]. Рационализираме последното равенство и y-z=[tex]\sqrt{6}[/tex] - 1 или y = [tex]\sqrt{6}[/tex] - 1 + z . Заместваме в (2) и получаваме уравнението за z : [tex]z^{2}[/tex]+2[tex]\sqrt{6}[/tex]z-4=0 . Неговият положителен корен е z=[tex]\sqrt{10}[/tex]-[tex]\sqrt{6}[/tex] и y = [tex]\sqrt{10}[/tex] - 1 .