Синусова теорема

[polliexx]

1.png (26.9 KiB) Прегледано 1274 пъти

Може ли да помогнете с тази задача?

[Knowledge Greedy]

Ако означим с [tex]N[/tex] пресечната точка на правата [tex]CH[/tex] и описаната окръжност [tex]k[/tex] около[tex]\Delta ABC[/tex], всеки деветокласник знае, че [tex]\Delta ABH \cong \Delta ABN[/tex].
Окръжността [tex]k[/tex] има радиус [tex]R[/tex], но на тази окръжност са и върховете на [tex]\Delta ABN[/tex] т.е. описаната около него окръжност е с радиус [tex]R_1=R[/tex]
__________
А еднаквите триъгълници имат равни радиуси на описаните си окръжности, нали
__________
Може и със синусова теорема, но за нея някой друг да помогне

[Davids]

Ако означим с [tex]N[/tex] пресечната точка на правата [tex]CH[/tex] и описаната окръжност [tex]k[/tex] около[tex]\Delta ABC[/tex], всеки деветокласник знае, че [tex]\Delta ABH \cong \Delta ABN[/tex].
Окръжността [tex]k[/tex] има радиус [tex]R[/tex], но на тази окръжност са и върховете на [tex]\Delta ABN[/tex] т.е. описаната около него окръжност е с радиус [tex]R_1=R[/tex]
__________
А еднаквите триъгълници имат равни радиуси на описаните си окръжности, нали
__________
Може и със синусова теорема, но за нея някой друг да помогне

Обожавам решенията Ви.

[KOPMOPAH]

След такова елегантно и наистина математическо решение, малко ме е срам да помогна, използвайки синусува теорема. Правя го (не заради точката, Davids ), защото госпожата или господинът може да държат задачата да се реши ИМЕННО със синусова теорема.
И така, използвайки стандартни означения за ъгли и обозначавайки петите на височините съответно с $A_1$, $B_1$ и $C_1$ можем да напишем следното:
$\measuredangle A_1AB=90^\circ-\beta$, $\measuredangle B_1BA=90^\circ-\alpha$, $\measuredangle AHB=180^\circ-(90^\circ-\beta+90^\circ -\alpha)=\alpha+\beta$
За $\triangle ABC$ по синусова теорема имаме $\frac{AB}{\sin \gamma}=2R$, за $\triangle ABH$ съответно $\frac{AB}{\sin (\alpha+\beta)} = 2R_1$, като отчетем, че $\sin \gamma=\sin (\alpha +\beta)$ получаваме окончателно $R=R_1$