Синусова теорема

[monika55]

В окръжност с радиус R е вписан четириъгълник ABCD с ъгли [tex]\angle[/tex]CAB=[tex]\alpha[/tex], [tex]\angle[/tex]CBD=[tex]\beta[/tex], [tex]\angle[/tex]ACB=[tex]\gamma[/tex]. Да се намерят страните и диагоналите на четириъгълъника.

[Knowledge Greedy]

Според даденото и синусова теорема
[tex]AB=2Rsin\gamma[/tex]
[tex]BC=2rsin \alpha[/tex]
[tex]CD=2Rsin \beta[/tex]
[tex]AC=2Rsin (\alpha +\gamma)[/tex] - тук в действителност ъгълът срещу диагонала [tex]AC[/tex] e [tex](180^\circ -(\alpha +\gamma))[/tex], но знаем, че синусите на допълващите се до [tex]180[/tex] градуса са равни.
За мярка на дъгата [tex]\overset{\frown }{AD}[/tex] остава [tex]360^\circ-2(\alpha+\beta+\gamma)[/tex], следователно
[tex]AD=2Rsin(\alpha+\beta+\gamma)[/tex]
И накрая - за диагонала [tex]BD[/tex] да забележим, че лежи срещу ъгъл с мярка [tex]2(\alpha +\beta)[/tex] - защото [tex]\overset{\frown }{BCD}=\alpha + \beta[/tex] и
[tex]BD=2Rsin(\alpha+\beta)[/tex]

Чудесна задача за упражнение върху синусова теорема!

[Knowledge Greedy]

Според даденото и синусова теорема
[tex]AB=2Rsin\gamma[/tex]
[tex]BC=2rsin \alpha[/tex]
[tex]CD=2Rsin \beta[/tex]
[tex]AC=2Rsin (\alpha +\gamma)[/tex] - тук в действителност ъгълът срещу диагонала [tex]AC[/tex] e [tex](180^\circ -(\alpha +\gamma))[/tex], но знаем, че синусите на допълващите се до [tex]180[/tex] градуса са равни.
За мярка на дъгата [tex]\overset{\frown }{AD}[/tex] остава [tex]360^\circ-2(\alpha+\beta+\gamma)[/tex], следователно
[tex]AD=2Rsin(\alpha+\beta+\gamma)[/tex]
И накрая - за диагонала [tex]BD[/tex] да забележим, че лежи срещу ъгъл с мярка [tex]2(\alpha +\beta)[/tex] - защото [tex]\overset{\frown }{BCD}=\alpha + \beta[/tex] и
[tex]BD=2Rsin(\alpha+\beta)[/tex]

Чудесна задача за упражнение върху синусова теорема!