задача със синусова теорема 3

[aysun42]

Задачата трябва да се реши с помощта на синусова теорема.

В триъгълник АВС са дадени ВС=а , [tex]\angle[/tex] В =[tex]\beta[/tex] ,[tex]\angle[/tex] С = [tex]\gamma[/tex] .Намерете дължината на вътрешната ъглополовяща на ъгъла при върха А.

Благодаря предварително!

[aysun42]

Реших задачата, но не съм сигурна дали решението е правилно и бих искала някой да ми го провери :)

[tex]\angle[/tex]CAB=180 [tex]^\circ[/tex] - ([tex]\beta[/tex] + [tex]\gamma[/tex])
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]CAL=[tex]\angle[/tex]LAB=[tex]\frac{180 ^\circ - (\beta+\gamma)}{2}[/tex]

Прилг. синусова теорема за [tex]\triangle[/tex] ACL

[tex]\frac{AL}{sin\gamma}[/tex]=[tex]\frac{CL}{\frac{sin180 ^\circ - (\beta+\gamma))}{2}}[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AL}{sin\gamma}[/tex]=[tex]\frac{2CL}{sin( \beta+\gamma)}[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] AL=[tex]\frac{2CL.sin \gamma}{sin(\beta+\gamma)}[/tex]

А ако го направя с [tex] \triangle[/tex] ALB се получава:

AL=[tex]\frac{2LB.sin\beta}{sin(\beta+\gamma)} [/tex]

2.png (4.68 KiB) Прегледано 1136 пъти

[Евва]

Няма да приемат за вярно решение,защото в отговора трябва да присъстват само дадените ,в случая- а , [tex]\beta[/tex] , [tex]\gamma[/tex] .

[S.B.]

2.png

Адмирирам вашето желание да решите задачата сама,но явно трябва някои работи да Ви се обяснят.
Нека да разсъждаваме заедно по Вашия чертеж:
Ъглополовящата ,която търсите се намира в [tex]\triangle ALC[/tex] от който Ви е известен само ъгъл $\gamma$.За да приложите синусова теорема са Ви необходими страната $AC$ и $\angle ALC$
1) Страната $AC$ : Можете да я получите от $\triangle ABC$ : [tex]\frac{AC}{sin\beta} = \frac{BC}{sin\alpha}[/tex] ,където $BC = a ,\alpha = [\pi - (\beta + \gamma)] $
$ sin\alpha = sin[\pi -(\beta + \gamma)] = sin(\beta + \gamma) \Rightarrow AC = \frac{asin\beta}{sin(\beta + \gamma)}$
2)$\angle ALC = \beta + \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi - (\beta + \gamma)]}{2} + \beta = [\frac{\pi}{2} + \frac{\beta + \gamma}{2}]$ като външен за триъгълника $ABL$
$ sin[\frac{\pi}{2} + \frac{\beta + \gamma}{2}] = cos\frac{\beta + \gamma}{2}$
Сега вече имате всичко необходимо за да приложите синусoва теорема за $\triangle ALC$:
[tex]\displaystyle\frac{AC}{sin\angle ALC} = \displaystyle \frac{AL}{sin\gamma} \Leftrightarrow l_{a } = AC.\displaystyle \frac{sin\gamma}{sin\angle ALC} \Rightarrow l_{a } = \frac{asin\beta}{sin(\beta + \gamma)}.\frac{sin\gamma}{cos\displaystyle \frac{\beta + \gamma}{2}}[/tex]