задача със синусова теорема 9

[aysun42]

Задачата трябва да се реши с помощта на синусова теорема.

Основите на трапец АВСD са АВ=16 , СD=4 .Намерете радиусите на окръжностите , които са :
1.описана 2.вписана ,ако съществуват.

Благодаря предварително!

[S.B.]

Без заглавие (19).png (154.6 KiB) Прегледано 1032 пъти

Задачата трябва да се реши с помощта на синусова теорема.

Основите на трапец АВСD са АВ=16 , СD=4 .Намерете радиусите на окръжностите , които са :
1.описана 2.вписана ,ако съществуват.

За да съществува описана около трапеца окръжност е необходимо той да бъде равнобедрен т.е. $AD = BC$
A за да съществува и вписана окръжност е необходимо $AB + CD = AD + BC = 16 + 4 = 20 $ , [tex]\Rightarrow AD = BC = 10[/tex]
$HB = \frac{AB - CD}{2} = \frac{16 - 4}{2} = 6$ От $\triangle HBC \rightarrow \frac{HB}{BC} = cos\beta \Rightarrow cos\beta = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} , sin\beta = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$
Диаметърът на вписаната окръжност $2r = CH , \frac{CH}{BC} = sin\beta \rightarrow CH = BC.sin\beta = 10.\frac{4}{5} \Rightarrow 2r = 8, r = 4$
За $\triangle AHC $ по Питагор $AC^{2} = AH^{2} + CH^{2} \Leftrightarrow AC = \sqrt{10^{2} + 8^{2}} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$
За $\triangle ABC $ прилагам синусова теорема : $\frac{AC}{sin\beta} = 2R \rightarrow AC = 2R.sin\beta \Leftrightarrow 2\sqrt{41} = 2R.\frac{4}{5}\Rightarrow R = \frac{5\sqrt{41}}{4}$