Интересна задача с косинусова теорема

[wildchild]

Здравейте !

Тази задача ми се стори доста интересна и различна С две думи , не мога да я реша

Та, ето я : Може ли около четириъгълник ABCD да се опише окръжност,ако [tex]\angle[/tex] ADC=30[tex]^\circ[/tex] , AB=3, BC=4 и AC=6.

Ако някой може да я реши, ще се радвам, ако сподели решението си с мен

[Петър Евгениев]

Здравейте !

Тази задача ми се стори доста интересна и различна С две думи , не мога да я реша

Та, ето я : Може ли около четириъгълник ABCD да се опише окръжност,ако [tex]\angle[/tex] ADC=30[tex]^\circ[/tex] , AB=3, BC=4 и AC=6.

Ако някой може да я реши, ще се радвам, ако сподели решението си с мен

Ами, не може защото: Като приложиш косинусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] получаваш [tex]cos\angle ABC=\frac{-11}{24} \approx -0,4584[/tex], а за да може трябва [tex]\angle ADC+ \angle ABC= 180^\circ \Leftrightarrow \angle ABC=150^\circ[/tex], за да може да се впише окръжност, а както знаем [tex]cos150^\circ=\frac{-\sqrt{3}}{2}\approx -0,86 \ne cos\angle ABC=\frac{-11}{24}[/tex]

Сега тези разсъждения могат да се въртят по 100 еквивалентни начина и по още толко да се философства(както много обичат да правят математиците), но това е the gist(същината).

Химиците искат да са физици, физиците да са математици, математиците философи, а философите... Те искат работа.

[wildchild]

Много благодаря

Тази задача също не мога да реша,ще се радвам, ако ми помогнете.

На бедрото ВС на равнобедрения триъгълник АВС, като на диаметър е построена окръжност, която пресича АВ в т. D. Ако АD=[tex]\sqrt{3}[/tex] и [tex]\angle[/tex]АВС=120[tex]^\circ[/tex], да се намери разстоянието от върха А до центъра на окръжността.

[Петър Евгениев]

Много благодаря

Тази задача също не мога да реша,ще се радвам, ако ми помогнете.

На бедрото ВС на равнобедрения триъгълник АВС, като на диаметър е построена окръжност, която пресича АВ в т. D. Ако АD=[tex]\sqrt{3}[/tex] и [tex]\angle[/tex]АВС=120[tex]^\circ[/tex], да се намери разстоянието от върха А до центъра на окръжността.

Няма как [tex]\angle ABC=120^\circ[/tex], сигурно[tex]\angle ACB=120^\circ[/tex]

1.Покажи, че [tex]\triangle ABC \sim \triangle DBO[/tex]. От това и това, че [tex]O[/tex] среда на [tex]BC[/tex] направи извода, че [tex]DO[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle ABC \Rightarrow DO=\frac{1}{2}b[/tex].

2.Разгледай [tex]\triangle ADO[/tex].
*Намери ъгъла [tex]\angle ADO=180^\circ-\angle ODB=180^\circ-30=150^\circ[/tex], защото [tex]\triangle DOB, (DO=DB=R)[/tex] и [tex]\angle DBO=30^\circ[/tex]

Untitled.png (42.43 KiB) Прегледано 1248 пъти

[wildchild]

Но в условието е казано да се намери разстоянието от върха А до центъра на окръжността, а не ъгъла.
Тоест как мога да намеря разстоянието ?

[Петър Евгениев]

Но в условието е казано да се намери разстоянието от върха А до центъра на окръжността, а не ъгъла.
Тоест как мога да намеря разстоянието ?

Знам какво пише. Ами няма само да стане.
[tex]AB=\sqrt{3}+\frac{b}{2}, AC=BC=b \Rightarrow cos th \triangle ABC: (\sqrt{3}+\frac{b}{2})^{2}=2b^{2}-2b^{2}.cos120^\circ[/tex]
Така намираш [tex]b[/tex]. Занейки [tex]b[/tex]. Разглеждаш [tex]\triangle ADO[/tex] със страни [tex]AD=\sqrt{3}, DO=b[/tex] и [tex]AO[/tex] търсеното разстояние... и ъгъл от този триъгълник ти казах как намериш, правиш косинусова теорема и готово.

[Евва]

Втората задача реших без да променям условието и получих АО=[tex]\sqrt{\frac{7}{3}}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{21}}{3}[/tex]
Това ли е отговора ?

[wildchild]

Аз не знам отговора колко трябва да е, но не успях да намеря b и оттам ест. и AО.Не че не знам как, а не успях да го реша.

[S.B.]

Без заглавие (26).png (244.09 KiB) Прегледано 1192 пъти

На бедрото ВС на равнобедрения триъгълник АВС, като на диаметър е построена окръжност, която пресича АВ в т. D. Ако АD=[tex]\sqrt{3}[/tex] и [tex]\angle[/tex]АВС=120[tex]^\circ[/tex], да се намери разстоянието от върха А до центъра на окръжността.

Нека и аз да се пробвам!

Не е възможно $\angle ABC = 120^\circ$ Вероятно $ \angle ACB = 120^\circ$ ; $\angle A = \angle B = 30^\circ$
Окръжността пресича $AB$ в т.$D$,$BC$ е диаметър ,[tex]\Rightarrow \angle BDC = 90^\circ[/tex] и тогава $DC \bot AB$
За правоъгълния триъгълник $ACD$ : [tex]\frac{AD}{AC} = cos30^\circ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow b = 2[/tex]
За $\triangle AOC$ прилагам косинусова теорема :
[tex]AO^{2} = CO^{2} + CA^{2} - 2.CO.CA.cos120^\circ = 1^{2} + 2^{2} + 2.1.2.\frac{1}{2} = 1 + 4 + 2 = 7[/tex]
$AO^{2} = 7 \Rightarrow AO = \sqrt{7}$